UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 201 



Un'anticollineazione piana generalo può avere per elementi 

 uniti i vertici ed i lati di un triangolo e non avere alcun elemento 

 involutorio ; oppure può avere solo un punto unito ed una retta 

 unita, ma due punti involutori su questa, congiunti a quello da 

 due rette involutorie. Fra i casi particolari che si possono pre- 

 sentare è notevole quello in cui la collineazione, senz'essere in- 

 volutoria, ha un'infinità di elementi uniti ; il suo quadrato deve 

 allora ridursi ad un'omologìa e Tantiprojettività involutoria che 

 sull'asse di questa (od intorno al suo centro) vien determinata 



ed 



MA'. MA' MB . MB' 



arg ' NA . NA' = arg - KB . ISB' ' 

 ossia 



(1) mod.(MNAA') = cost. 



, OÌ MA .MA' 



(2) arg ' NA.NA' = C0St -' 



ove s'intende che A, A' sia una coppia variabile di punti omologhi. 



don le stesse convenzioni, se M, N anzi che punti uniti sono due punti 

 corrispondentisi in doppio modo nelle due punteggiate proiettive, e però in- 

 volutori, si ottiene similmente: 



.„. . MA . MA' 



(ó) mod.-— — -—cost. 



w ISA . NA' 



(4) arg. (MINA A') = cost. 



Aggiungiamo due altre relazioni, che si ottengono considerando i punti 

 limili 1, L/ delle due punteggiate (cioè gli omologhi dei punti all'infinito) ed 

 esprimendo che sono coniugati i birapporti (IooABi e (ooL'A'B'): esse sono: 



(5) mod. (IA . L'A') = cost. 



(6) arg. -j-t^-, — cost. 



Tralasciamo per brevità i casi particolari in cui i punti all'infinito delle 

 due punteggiate si corrispondono, ecc., e solo osserviamo che ciascuna delle 

 tre coppie di relazioni (1), (2); (3), (4); (5), (6), ove vi si considerino ancora 

 A, A' come mobili, può servire a definire l'antiproiettività. Del resto tali re- 

 lazioni che corrispondono ad alcune proprietà ben note delle punteggiate 

 proiettive, equivalgono ad altre relative alle affinità circolari del Móbius: in 

 particolare le (5) e (6) coincidono in sostanza col $ 9 della Theorie der Kreis- 

 verwandtsclìofl già citata. 



Se anzi che di punteggiate si tratta di fasci (di rette o di piani) antipro- 

 iettivi, le relazioni (1), (2), (3), (4) si conservano purché i segmenti si sosti- 

 tuiscano con seni di angoli. Si noti poi che, allo stesso modo che per due 

 fasci proiettivi , per due fasci antiproiettivi vi son sempre due elementi ad 



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