UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 203 



9. Terminiamo queste considerazioni generali sulle antipro- 

 jettività col darne la rappresentazione analitica. La si può de- 

 durre subito da quella particolare che al n. 1 si trovò per le 

 forme di l a specie (ovvero anche dal riguardare, come al n. 6, 

 un'antiprojettività quale prodotto del coniugio e di una proiet- 

 tivi tà). Da questa discende in fatti che, se si chiamano x h x \ le 

 coordinate degli elementi omologhi di due forme qualunque an- 

 tiprojettive quando per elementi di riferimento (fondamentali 

 ed unità) si prendano in esse elementi omologhi, si avrà: 



X {= Xi 



Se invece i sistemi di riferimento nelle due forme si pren- 

 dono ad arbitrio, la nota forma analitica della trasformazione di 

 coordinate ci conduce dalle precedenti alle seguenti formole per 

 la corrispondenza antiprojettiva 



x t=2é a lm x m , 

 donde risolvendo m 



x m ~Z&. lm x i , 

 i 



e prendendo i coniugati dei due membri : 



Si vede dunque che nel caso più generale le coordinate di un 

 elemento dell'una forma si esprimono come forme lineari dei 

 coniugati delle coordinate dell' elemento omologo nell'altra forma. 

 Nello stesso modo come una projettività si rappresenta con 

 un'equazione bilineare, così un'antiprojettività si può anche rap- 

 presentare con un'equazione della forma 



2. a [m x t x m = , 



che equivale alla coniugata 



2> a lm x t x m = . 



Si deve allora intendere che ad es. se si tratta di un'antireci- 

 procità fra due spazi, le x ed x' siano coordinate di due punti 

 reciproci, cioè tali che l'uno giaccia sul piano omologo dell'altro ; 

 ed analogamente negli altri casi. 



