SULLA CORRISPONDENZA ALGEBRICA FRA DUE SPAZI RIGATI 243 



2. All'oggetto di dimostrare la formula (I) è indifferente 

 considerare lo spazio rigato [n — 1 , n], o la forma ad esso cor- 

 relativa [2, 3, 4, . . . 11 — 1, ii\ . Potremo quindi ragionare sugli 

 [n — 2] di [n] e dimostrare la formula : 



(II) . . . #" (M ,... B _i, »)=2 («*, «, , «,.-., «„_3 » «„_ 2 ) • 

 . (il — a„_ 2 , w — a„_ 3 . . . , w — a a , w— ,a r i »— a )' , 

 o < a < a t < « 2 . . . < a„_ 2 < « , 



che si deduce dalla (I) per legge di dualità; e nella quale il 

 prodotto simbolico 



(a , «t,.., a n _ 3 , «„_ 2 ) . (n - a„ _ 2 , n - «„_ 3 . .. , n — a, , « — «„)', 



esprime il numero degli elementi di un [a , a, , . . , a n _ 3 , <7„_ s ] 

 che hanno i loro omologhi in una forma fondamentale coniugata 

 [n — a„_ 2 , w — a n _ 3 ,...,«-«„»-»„]' (luna e 1' altra forma 

 essendo prese in posizione arbitraria) (*). 



Per w=2 la formula suddetta ci dà l'ordinario principio di 

 corrispondenza nel piano , e per n = 3 la formula di Schubert 

 precedentemente citata (n. 1). Basterà dunque far vedere che, 

 se la legge espressa dalla formula (II) vale per i due spazi con- 

 secutivi [2, 3, 4,. . .11 — 3,ii— 2] e [2, 3, 4, .. . n — 2, n — 1], essa 

 deve altresì valere nello spazio [ 2,3,4, ... n — 1, n] immediata- 

 mente superiore. 



3. Per ciò siano S, S' i due spazi di [n— 2] sovrapposti 

 in [2,3,4,. . .11 — l,w], ed $(„_») , s\ n _ 2] due elementi corrispon- 

 denti qualunque dei medesimi. Prendasi a piacere un [n — 1] 

 fisso &„_,) , e si cerchi dapprima il numero x degli S(„_ 2 ) , che 

 passano per un punto dato (non situato in 0) ed incontrano 

 i corrispondenti s\ n _ 2) secondo [n — 3] di Q . Il numero x sarà 

 evidentemente uguale al numero degli elementi uniti nella cor- 

 rispondenza esistente sullo spazio Q ( „_,) fra le tracce |U ( „_ 3) , 

 p-'(„_:,) degli s [n _ 2) passanti per e degli s' (n _ 2 ) corrispondenti ai 

 medesimi. 



(*) Per il principio di dualità relativo ad [n], due forme fondamentali 

 conjugott in [n] si mutano sempre in due forme analoghe. 



