UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 293 



ed i costrutti) formi un gruppo armonico ; e così via. Ogni ele- 

 mento della catena si otterrà per questa via o direttamente o 

 come limite. 



Similmente la catena di 2 a specie determinata da 4 punti 

 indipendenti dati su di un piano contiene anche i punti in cui 

 si tagliano le rette che congiungono quei 4 a due a due (rette 

 della catena, perchè unite nell'antinvoluzione determinata dai 4 

 punti come punti uniti) ; poi i punti in cui si tagliano ancora 

 le rette che congiungono i punti che già si hanno; e così via. 

 Ogni punto della catena si otterrà a questo modo, direttamente 

 o come limite. 



Analogamente si possono ottenere le altre catene di 2' 1 specie 

 e quelle di 3 a . 



14. Le proprietà precedenti si rispecchiano tutte nella se- 

 guente rappresentazione analitica (parametrica) delle catene, 

 rappresentazione che deriva immediatamente da quelle proprietà. 

 Indichino a { , b n c t , .... le coordinate fisse dei punti a,b,c..., 

 mentre ). , fi , v, ... siano parametri reali variabili: allora, al 

 mutar di questi , i punti di coordinate 



(1) la t + (ib t , 



(2) lai + [xb t +vc t , 



(3) X a t + [j. b[ + v Cx + n di , 



descrivono rispettivamente una catena semplice (rettilinea), una 

 catena doppia (piana) ed una tripla (spaziale). La corrispon- 

 denza fra i punti di queste catene ed i rapporti di quei pa- 

 rametri è univoca, senz'eccezione. 



In ciò però si è supposto tacitamente che i punti a, l>. e,... 

 fossero indipendenti. Ponendo ora l'ipotesi contraria avremo dalle 

 (1), (2), (3) le rappresentazioni di quelle stesse catene degeneri 

 a cui si giungerebbe applicando alle antinvoluzioni quanto si 

 disse in generale al n. 10 intorno alle antiprojettività degeneri. 



Anzitutto se sopra una data retta i due punti a, b coinci- 

 dono, la catena rettilinea che era rappresentata da (1) degenera 

 riducendosi a quell'unico punto: e questo punto (singolare) 

 corrisponde, esso solo, a tutti gl'infiniti valori di /. : u . 



Se poi nella (2) a, b, e son tre punti di una retta , allora 

 è chiaro che, se fra le coordinate scelte per essi ha luogo un 



