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legame lineare reale, cioè se per i vari valori di 1 le ai, b t , c t 

 costituiscono altrettante soluzioni di una stessa equazione lineare 

 omogenea a coefficienti reali, od in altri termini se, nel campo 

 binario, son reali i rapporti dei determinanti (b e) , (co), (ab), 

 la (2) si potrà ridurre a contenere linearmente due soli para- 

 metri omogenei reali, e però rappresenterà solo una catena ret- 

 tilinea , ogni punto della quale corrisponderà ad infiniti valori 

 di ). : ix : v. — Ma se fra quelle coordinate di a, b, e non 

 esiste un legame siffatto, allora con valori convenienti di questi 

 rapporti la (2) potrà rappresentare le coordinate di ogni punto 

 della retta. In tal caso se un punto corrisponde in pari tempo 

 a due gruppi di valori per )>, fj., v non proporzionali fra loro, 

 sicché si abbia 



s (>, a t + [a b t + v c^ — s ( X'a, + p.% + v c t ) , 



se ne trae, ponendo 



a + i a x = (6 e) , (2 + i j3j = (e a) , y + i y x = (ab) , 



che si possono prendere s, s' per modo che 



si — s"X'=o(-{-ioc l , s[j. — s'[j.' = fi +*|3 1 , s v — s'v':=y-\-iy l . 



Ora da ciò segue subito che quello stesso punto corrisponde anche 

 al porre nella (2) in luogo di ).,jU., v rispettivamente (le com- 

 binazioni lineari di X,p, ,i> ; X',[x' t v') a, |3,y, oppure anche 

 K p j3 15 y t , o più in generale a-\-ha Y , fì-\-kfì x , y + hy x , 

 ove k indichi un numero reale qualunque. Vi è dunque sulla 

 retta un sol punto singolare, cioè corrispondente ad infiniti 

 valori di /: \x: v, quando la rettasi rappresenta colla (2), vale 

 a dire si considera come una catena piana degenere. 



Consideriamo ora similmente i punti rappresentati dalla (3), 

 ove a , b , e , d stiano tutti in un piano. Se fra le coordinate 

 scelte per questi, a t , b t , c t , d t , esiste un legame lineare reale 

 (cioè se son reali i rapporti dei determinanti del 3° ordine 

 formati con esse), la (3) non rappresenterà che i punti di una 

 catena piana (ognuno contato infinite volte). — Nel caso ge- 

 nerale invece, in cui non ha luogo un tal legame, essa rappre- 

 senta co 3 punti; e si vede, come si fece teste per la (2), che 



