UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 297 



15. I risultati del num. prec. possono trovare applicazioni 

 molto importanti agli dementi tangenti (ed ai contatti mutui) 

 di enti qualunque composti d'infiniti punti. Tali applicazioni, 

 che per la presente Nota costituiranno una piccola digressione, 

 saranno invece utilissime per altri lavori (*). 



Consideriamo un ente qualsiasi, luogo dei punti le cui coor- 

 dinate x,y,z sono funzioni date dei parametri reali indipendenti 

 Ir, v ... Diciamo tangente a quell'ente nel punto (x,y,z) ogni 

 retta che lo congiunga ad un punto infinitamente vicino dell'ente 

 stesso. Come coordinate di tal retta (nella stella) si possono as- 

 sumere i differenziali totali dx , dy , dz , i quali sono espressi da 



x d x 



dx = — du-\- — dv-\-, . . , 

 cu ov 



ecc., purché il punto (x,y,z) non sia singolare, cioè ammetta 

 dei valori ben determinati e non tutti nulli per quelle prime 

 derivate parziali di ogni coordinata. Ora essendo quelle espres- 

 sioni forme lineari nelle variabili reali indipendenti du , dv , . . . , 

 ne segue, pel num. precedente, che le tangenti in un punto 

 Qualunque non singolare formano una catena, generale o de- 

 genere, della stella che ha quel punto per centro. Più precisa- 

 mente separando fra loro i vari casi, ed applicando i singoli 

 risultati di quel num. (ove X,/Jt, . . . son sostituiti da du , dv, . . . , 

 i punti son sostituiti da rette della stella, ed in particolare i 

 punti che ivi apparivano come singolari, cioè corrispondenti ad 



sia come luoghi di punti uniti di antinvoluzioni di quegli spazi, sia come 

 composte dai punti le cui coordinate sono forme lineari date di un numero 

 qualsiasi di parametri reali variabili. Ciò posto, le catene che essenzialmente 

 appartengono ad un S d sono : quelle non degeneri composte di oo d punti 

 (punti uniti di un'antinvoluzione non degenere); poi quelle degeneri 00^+', 

 oo rf+1 , ..., oo ad_l composte degli elementi che proiettano da un punto, da 

 una retta, . . . , da un S d _ 1 risp. le catene non degeneri di S d _ l , S d _ i , . . . , S t ì 

 ed infine la oo 2d composta di tulti i punti di S d , la quale pure (con un 

 certo S d _ l come luogo dì punti singolari) figura come catena degenere. — 

 Per proiezioni o sezioni qualunque da catene si otterranno sempre catene. 

 (*) Il lettore potrà fin d'ora vedere a che cosa si riducano per gli enti 

 costituiti dai punti di una catena le rette ed i piani tangenti di cui tratteremo 

 in generale. Nei Cap* segu' si otterranno poi direttamente per gli elementi 

 tangenti ad iperconiche, iperquadriche e loro intersezioni le proprietà che 

 ora stabiliamo per enti qualunque. 



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