UN NUOVO CAMPO D] RICERCHE GEOMETRICHE 299 



Le tangenti ad un ente oo 4 in un punto non singolare riem- 

 piono i piani di una catena semplice; l'asse del fascio di piani 

 cui questa catena appartiene è una tangente singolare; gli co 1 

 piani della catena sono i piani tangenti. Per ciascuno di questi 

 l'intersezione (oo 2 in generale) coll'ente oo 4 ha nel punto consi- 

 derato un punto singolare, poiché esso ha per tangenti tutte le 

 rette del piano ; laddove per un altro piano qualunque queir in- 

 tersezione ha per tangenti le rette della catena semplice sezione 

 della catena dei piani tangenti, ed ha in particolare una sola 

 tangente nella tangente singolare dell' oo 4 , se il piano, senz'essere 

 tangente, passa per questa. — In casi particolari la catena dei 

 piani tangenti può degenerare riducendosi ad un unico piano 

 tangente : allora si hanno solo più oo 2 rette tangenti, esse for- 

 mano un fascio in quel piano e sono tutte singolari. Questa 

 particolarità si presenta per tutti i punti della oo 4 , quando 

 questa costituisce una superficie. 



Per un ente oo D tutte le rette uscenti da un punto sono 

 tangenti, in quanto che lo congiungono ai punti infinitamente 

 vicini. Esse ci appaiono come costituenti una catena co 4 dege- 

 nere, e però fra esse ve ne sarà un fascio di singolari, alle quali 

 converrà riservare la denominazione di « tangenti » . Queste rette 

 particolari presentano fatti analoghi alle tangenti già considerate 

 di un ente piano oo 3 ; e sono appunto le tangenti agli enti oo 3 che 

 si ottengono come sezioni piane dell' oo°. Il loro piano, piano 

 tangente a questo nel punto di cui si tratta, dà una sezione 

 piana per cui quel punto è singolare ('*). — 



se invece l'ente oo 3 è dato in coordinate omogenee dall'equazione reale 



f(x y , a; 2 , x 3> x ì , *- 2 , a; 3 )— , 

 l'equazione della tangente in x diventa : 



^™ ùx l 



(Gfr. una nota dell' introduzione). Il punto è singolare se quest'equazione si 

 riduce ad un'identità, cioè se s'annullano le prime derivate parziali di f 

 rispetto alle coordinate x t (donde segue anche l'annullarsi delle prime deri- 

 vate di /"rispetto alle x ( , poiché in causa della realtà della forma f queste 

 derivate sono coniugate di quelle). 



(*) L'equazione di questo piano tangente si scrive subito per analogia 

 con quella della retta tangente ad una oo 3 piana data nella nota precedente, 

 e si dimostra o in modo simile, deducendola da quella. — Similmente si 

 hanno analoghe condizioni analitiche perchè il punto sia singolare. 



