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Stando alla primitiva definizione delle rette tangenti è evi- 

 dente che se due enti di diversa dimensione sono contenuti l'uno 

 nell'altro, le tangenti di quello son pure tangenti di questo. Ne 

 derivano le proposizioni seguenti, in cui degli enti di cui si parla 

 si suppone sempre che l'uno stia nell'altro, e gli elementi tan- 

 genti si considerano tutti per uno stesso punto. 



La tangente air oc 1 fa parte della catena semplice delle 

 tangenti all'ente oo 2 . — La catena semplice delle tangenti al- 

 l' oo 2 sta nella catena doppia delle tangenti all'oo 3 ; e però il 

 piano tangente all'oo 2 sta fra i piani tangenti dell'oc 3 . — La 

 catena doppia delle tangenti all'oo 3 sta nella catena semplice dei 

 piani tangenti all'ente oo 4 ; vale a dire la tangente singolare di 

 questo è pur tangente per l'ente oo 3 , e quella catena di piani 

 tangenti all'oo 4 son pur tangenti per l'oo 3 . 



È facile vedere che una tangente singolare di un ente, cor- 

 rispondendo ad infiniti valori dei differenziali du ,dv , . . . , è pur 

 tangente ad ogni ente di dimensione inferiore di un'unità con- 

 tenuto in quello (ente per cui quei differenziali vengono assog- 

 gettati ad un'equazione lineare). Possiamo quindi aggiungere: 



La tangente ad un ente piano oo 3 è pur tangente all'ente 

 oo 2 . — Il piano tangente all'ente oo° è pure piano tangente per 



l'oc 4 . 



Tra le numerose conseguenze che si possono trarre da tutte 

 le precedenti proposizioni fondamentali sugli enti composti d'in- 

 finiti punti vi hanno quelle relative alle tangenti che due 

 o più enti hanno a comune in un loro punto d'intersezione. 

 Così dal fatto che presto dimostreremo che due catene semplici 

 di una stessa forma hanno in generale due elementi a comune, 

 oppure nessuno, segue che due enti oo 2 di uno stesso piano hanno 

 in generale in ogni loro punto d'intersezione due tangenti co- 

 muni, ovvero nessuna (*). In generale tutte le proprietà che ve- 



(*) È superfluo avvertire che una tangente comune in un punto dei due 

 enti non significa ancora (come, stando alle nozioni comuni, potrebbe sem- 

 brare) un contatto di questi, cioè l'aver comune nn> he un punto infinitamente 

 vicino a quello. Poiché su d'una retta (completa) vi sono co 1 punti infinita- 

 mente vicini ad un dato, e quindi, assegnando la retta (tangente) che con- 

 giunge un punto dato ad un suo infinitamente vicino, questo non risulta 

 determinato; sarebbe invece dato ove, ad esempio, si assegnasse una catena 

 rettilinea passante pel primo punto, sulla quale anch'esso debba stare. 



