UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 301 



dremo in seguito relative alle intersezioni mutue delle catene si 

 potranno applicare immediatamente alle dette questioni sulle tan- 

 genti in un punto comune ad enti qualunque. 



Ed ora, abbandonando questa digressione generale sugli ele- 

 menti tangenti, riprendiamo lo studio delle catene, e più gene- 

 ralmente delle antinvoluzioni. Ma per poterlo condurre più oltre 

 consideriamo ora separatamente le forme delle varie specie. 



16. Forme di l a specie. — È facile vedere che in ima tal 



forma ogni ani involuzione o non ha alcun elemento unito, 

 oppure ne ha una catena. Invero se un' antinvoluzione ha un 

 elemento unito P , e si chiamano A , A' due elementi omologhi 

 qualunque, l'armonico Q di P rispetto ad A, A' avrà per omologo 

 (in forza della definizione di « antiproiettività ») l'armonico di P 

 rispetto ad A', A, cioè se stesso, sicché Q sarà pure un elemento 

 unito; al variare poi della coppia AA' di elementi omologhi, Q 

 non rimarrà sempre fisso, poiché altrimenti l'antinvoluzione coin- 

 ciderebbe coll'involuzione avente per elementi doppi P e Q, il 

 che (ancora in virtù della citata definizione) non può essere. 

 Dunque la nostra antinvoluzione ha almeno 3 elementi uniti, e 

 però (n. 12) ne avrà infiniti costituenti appunto una catena. — 

 Così risulta pure che, rispetto ad una coppia qualunque AA' di 

 elementi omologhi dell' antinvoluzione avente per elementi uniti 

 quelli di una data catena, questi si distribuiscono in coppie (ana- 

 loghe alla PQ) armoniche ad AA'. Lo Staudt (B% 212) chiama 

 perciò gli elementi A, A' separati armonicamente dalla catena 

 (senza definirli coll'antinvoluzione , concetto che egli non intro- 

 duce) ed anzi osserva che ogni catena passante per essi ha co- 

 muni con quella data due elementi (armonici rispetto ad essi) : 

 fatto che da ciascuna delle rappresentazioni reali ricordate nel- 

 l'introduzione appare evidente. 



Per completare la dimostrazione del nostro primo enunciato 

 rimane da stabilire l'esistenza di antinvoluzioni prive di elementi 

 uniti. Essa risulterà naturalmente da alcune proprietà comuni a 

 tutte le antinvoluzioni che ora vedremo. 



17. Si consideri una catena C passante per due punti omo- 

 loghi A , A' di un'antinvoluzione qualunque A. Il prodotto di 

 questa e dell'antinvoluzione C (indicando con questo stesso sim- 



