

302 CORRADO SEGRE 



bolo l'antinvoluzione che ha la catena fondamentale C) sarà una 

 proiettività in cui i due elementi A, A' si corrisponderanno evi- 

 dentemente in doppio modo, cioè sarà un'involuzione. Ne segue (*) 

 che le due antinvoluzioni sono permutabili , sicché la catena C 

 sarà trasformata in se stessa da A. Dunque ogni catena pas- 

 sante per due elementi omologhi di un antinvoluzione è tra- 

 sformata in se stessa da questa, ossia è unita per questa. 



Ne discende subito che: due coppie qualunque di elementi 

 omologhi di uri antinvoluzione stanno in una catena (unita). 

 Ciò del resto risulta pure osservando che se AA' e BB' sono due 

 coppie di elementi omologhi di un'antinvoluzione, sarà il gruppo 

 AA'BB' antiproiettivo ad A'AB'B, e quindi anche al gruppo, 

 proiettivo a questo, AA'BB', cioè a se stesso; dunque quei quattro 

 elementi stanno in una catena. 



18. A determinare un'antinvoluzione non si possono dunque 

 dare ad arbitrio due coppie di elementi omologhi, come si fa per 

 le involuzioni; ma bisogna darle in guisa che stiano in una stessa 

 catena. Questa condizione è anche sufficiente , sicché date ad 

 arbitrio in una catena C due coppie AA', BB' di elementi, esiste 

 una determinata antinvoluzione che le contiene come coppie di 

 elementi omologhi (in altri termini se un' antiproiettività ammette 

 due elementi distinti A, A' che si corrispondano in doppio modo 

 e se inoltre — condizione che non ha l'analoga nelle proiettività — 

 ha come omologhi altri due elementi B, B f posti in una catena 

 con quelli, essa sarà involutoria). Invero il ragionamento prece- 

 dente si può invertire: il gruppo AA'BB' giacendo su una catena 

 sarà antiproiettivo a se stesso e quindi anche al gruppo (proiet- 

 tivo) A'AB'B; ora quest' antiproiettività , coincidendo evidente- 

 mente coll'inversa, sarà un'antinvoluzione, in cui dunque AA', BB' 

 son coppie di elementi omologhi. 



Sulla catena C, unita per l'antinvoluzione, questa determina 

 una corrispondenza che coincide con un' involuzione ordinaria e 

 che ha quindi due elementi uniti o nessuno secondo che sulla 



(*) In forza della nota proposizione 'che ci occorrerà ancora nel seguito) 

 che : la condizione necessaria e sufficiente perchè due corrispondenze uni- 

 voche involutorie siano permutabili è che il loro prodotto sia pure una cor- 

 rispondenza involutoria (la quale poi sarà permutabile con ognuna di quelle 

 due, dando per prodotto l'altra). 



