UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 308 



catena stessa le due coppie AA', BB' non si separano oppure 

 si separano. D'altronde da un' osservazione fatta alla fine del 

 n. 16 segue che se l' antinvoluzione ha elementi uniti, ne deve 

 certo avere due sulla catena C. Dunque l 'antinvoluzione deter- 

 minata dalle due coppie AA , BB' avrà una catena di elementi 

 uniti o non ne avrà alcuno secondo che quelle coppie sulla 

 catena che le contiene non si separano oppure si separano. — 

 Kesta così provata l'esistenza delle antinvoluzioni prive di ele- 

 menti uniti (*). 



(*) Sulla teoria analitica delle antinvoluzioni e delle catene nelle forine 

 di i a specie. — Un'antinvoluzione dì una tal forma (fra elementi x ed y) è 

 rappresentata (cfr. n. 9) da un'equazione della forma 



ove (come dimostreremo più in generale nel Cap° seg.) si può supporre che 



a,, , a tì siano reali, mentre a it , a ì{ siano fra loro coniugati. Simbolicamente 



la stessa equazione diventa: 



a x à-=0 . 



Il determinante 



1 



A — fl n a 9t - a u o 21 =- (a a') (a a-) 



(ove le a' indicano simboli equivalenti alle a) è l'invariante dell'antinvoluzione. 

 Esso è essenzialmente reale e col suo segno negativo o positivo indica risp. 

 che l'antinvoluzione ha o non ha una catena di elementi uuiti. Invero l'equa- 

 zione che esprimerebbe che l'elemento x è unito 



si può anche scrivere in quest'altro modo : 



(«n^i + a ìi cc i)( a u £ t -f- a„ i 2 ) + A »i », = , 



che proverebbe (essendo positivi i due prodotti di quantità coniugate che vi 

 compaiono) che A è negativo ; e viceversa. L'invariante A s'annulla (cfr. n. 10 

 quando l'antinvoluzione degenera, cioè la catena si riduce ad un solo ele- 

 mento. 



Se con quell'autinvoluzione ne consideriamo un'altra 



1 b lm x l Vm = ° . Ossia b x b- — , 



il cui determinante indichiamo con A, , avremo altre forme invariantive. Come 

 prodotto delle due antinvoluzioni si ottiene subito la proiettività 



(àb)a±!b y =0 , 

 la quale è involutoria quando s'annulla l'invariante (reale) 



l=z(ab)(àb)=a u b„ — a n b. n — a n b n + a n b„ . 



