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19. Forme di 2 a specie. — Consideriamo un" anti rivoluzione 

 fra gli elementi di un piano (poiché a questo possiamo limitarci). 



Dunque l'annullarsi di I esprime che le due antinvoluzioni sono permutabili. 

 — La proiettività considerata ha gli elementi uniti rappresentati da 



(àb)a t b x =0; 



e questi elementi costituiscono o la coppia di elementi omologhi comune alle 

 due antinvoluzioni oppure i due elementi uniti comuni a queste, cioè i due 

 elementi d'intersezione delle loro catene: ciò a seconda che esistono tali due 

 elementi omologhi oppure due tali elementi uniti (cfr. n. 24) Il caso intermedio 

 fra questi è quello in cui i due elementi coincidono in un solo elemento unito 

 comune alle due antinvoluzioni, cioè in cui le due catene sono tangenti fra 

 loro: si trova subito dall'equazione di quella coppia che la condizione perchè 

 accada questo fatto è 



l 2 — 4AA 1= . 



Se ora si osserva che il 1° membro di quest'uguaglianza è un invariante 

 di valore reale, il cui segno è pure invariante, si è condotti a pensare che 

 appunto questo segno serva a distinguere i due casi di cui prima si parlava. 

 Fra le varie dimostrazioni che di ciò si possono dare accenniamo la seguente 

 (che serve ad introdurre un nuovo concetto). Si consideri il fascio dì anti- 

 proiettività rappresentato, al variar di /:,</ , dall'equazione 



due elementi omologhi (ed in particolare un elemento unito) per due di queste 

 antiproiettività saranno tali per tutte. Le antiproiettività degeneri corrispon- 

 dono all'annullarsi del determinante di quell'equazione, cioè ai valori di /://. 

 per cui 



4/ 2 + U/, + A i;U * — . 



Se questi valori sono reali, sicché I* — 4AA,>0 , essi corrispondono a due 

 antinvoluzioni (o catene) degeneri del fascio, e però le due primitive antin- 

 voluzioni non possono avere alcun elemento unito comune: avranno invece 

 a comune una coppia di elementi omologhi (gli elementi singolari delle an- 

 tinvoluzioni degeneri). Se invece quei valori di /:,«. sono imagi nari-coniugati, 

 sicché I 2 — 4aa,<0, allora ponendo uno qualunque di essi nell'equazione 

 dell'antiprojettività, poiché questa è degenere, il suo 1° membro dovrà scin- 

 derai in due fattori contenenti linearmente risp. le x e le y e rappresentanti 

 risp. i due elementi singolari dell'antiproiettività. Quindi il primo di questi 

 elementi verifica l'equazione 



lla tm a: l*m+l jl b lm X l X m =zO , 



la quale, per essere reali le due somme che vi compaiono, ed immaginario 

 il rapporto / : p , si spezza in due equazioni reali da cui segue l'annullarsi 

 di quelle due somme, cioè l'essere l'elemento considerato elemento unito per 



