UN NUOVO CAMPO DP RICERCHE GEOMETRICHE 305 



Ogni retta non unita conterrà un determinato punto unito, cioè 

 il punto in cui la taglia la retta omologa. Similmente per ogni 



le due antinvoluzioni date. Queste hanno dunque in tal caso due elementi 

 uniti a comune. 



A queste considerazioni si collegherebbero naturalmente altre, dipendenti 

 dal carattere bilineare dell'invariante simultaneo I, sul sistema di due fasci 

 di antinvoluzioni o di catene mutuamente permutabili : i due elementi uniti 

 comuni all'un fascio sono i due elementi omologhi comuni all'altro. Ma ciò 

 sarebbe affatto ovvio; in generale la rappresentazione delle catene coi cerchi 

 del piano o della sfera è guida naturale in tali questioni: i fasci di catene 

 corrispondono ai fasci di cerchi, la permutabilità delle catene all'ortogonalità 

 dei cerchi, 1' invariante assoluto P : A A t ad una funzione dell'angolo di due 

 cerchi, ecc. Viceversa si ha col nostro procedimento un'elegante rappresenta- 

 zione analitica, invariantiva, della geometria dei cerchi del piano o della sfera. 



Come abbiamo incominciato lo studio invariantivo delle antinvoluzioni, 

 così più in generale si potrebbe avviare quello delle antiprojettività. Anche per 

 due di queste si potrebbero considerare gl'invarianti simultanei I, I 2 -4aa,, 

 il cui annullarsi s'interpreta subito geometricamente in modo quasi identico 

 a quello tenuto pel caso speciale delle antinvoluzioni ; si giungerebbe così ai 

 sistemi lineari di antiproiettività, ed in particolare ai loro fasci. Queste cose, 

 molto analoghe a cose note sulle projettività, noi tralasceremo. — 



Sulle proprietà metriche delle antinvoluzioni e delle catene nelle forme di 

 1* specie. — Una proprietà metrica importante di tali catene è quella vista 

 al n. 13 che il birapporto di 4 loro elementi è reale: essa si applica pure 

 (o. 17) a due coppie di elementi omologhi di qualunquo antinvoluzione. Altre 

 proprietà si possono dedurre da quelle metriche delle antiproiettività esposte 

 in una nota al n. 8. Indichiamo con M, N due punti uniti e con A, A' due 

 punti omologhi di un'antinvoluzione su d'una retta; allora avremo: 



mod. (ìMNAA') = mod. (MNA'A) , 



poiché l'antinvoluzione muta i birapporti nei coniugati, oppure anche in forza 

 della relazione (1) della nota citata. Ne segue 



(1) mod. (MNAA'j = 1 , 



ossia sviluppando 



, AM , AN 



m0d -À^I = m0d - À^N' 



(2) mod. AM : mod. A'M ■= cost. , 



al variare di M nella catena, mentre A, A 7 stan fissi. Questa relazione equi- 

 vale alla proprietà del cerchio di esser il luogo dei punti le cui distanze da 

 due punti fissi (inversi rispetto al cerchio" hanno un dato rapporto. Similmente 



