306 CORRADO SEGRE 



punto, non unito passerà una retta unita ben determinata, cioè 

 quella che lo congiunge al punto omologo. In ogni retta unita 

 l'antinvoluzione piana determinerà un' antinvoluzione semplice la 



la (2) della suddetta nota ( oppure la proprietà ricordata da principio) dà , 

 indicando con P un punto variabile della catena, 



MP\ 2 



arg * \Npj = " 



(3) arg. MP — arg. NP = cost. , 



a meno di un multiplo di ir : ciò equivale alla costanza dell'angolo iscritto 

 in un dato arco di cerchio. 



Se il punto all'infinito della retta non è unito per l'antinvoluzione e si 

 chiama il suo omologo, il quale sarà un centro di simmetria per l'antin- 

 voluzione o per la catena, la (i) darà: 



mod. m = 1 , 



cioè 



(4) mod. OM = p , 



essendo p costante al variare del punto M nella catena. Più in generale le 

 relazioni (5 e 6) della nota citata danno, indicando con A, A' due punti 

 omologhi variabili, e con p una costante: 



(5) mod. OA . mod. OA' = f 



(6) arg. OA = arg. OA' . 



Queste proprietà corrispondono alla nozione del raggio p di un cerchio ed 

 alle relazioni fra due punti A, A' inversi rispetto a questo. — Se poi si ha 

 una catena passante pel punto all'infinito, la (2) e la 3) diventano: 



(2') mod. AM = mod. A'M 



(3') arg. MP = cost. 



al variare di M o di P nella catena. Da quest'ultima proprietà, od anche di- 



M v 

 rettamente, segue che rr^r e reale, cioè che con un'unità di misura conve- 

 >6 JV1JN ' 



niente tutte le mutue distanze fra i punti della catena sono reali. 



Non stiamo a sviluppare le cose analoghe relative alla teoria metrica delle 

 antinvoluzioni e catene nei fasci di rette. Osserviamo soltanto che in generale 

 una tal antinvoluzione o catena può presentare due casi ben distinti secondo 

 che esistono due raggi omologhi, ovvero due raggi uniti che siano perpen- 

 dicolari fra loro; tali raggi sono sempre assi di simmetria per l'antinvolu- 

 zione o catena. Se l'antinvoluzione è permutabile coll'involuzione di angoli 

 retti del fascio si hanno due casi particolari notevoli, secondo che ciò pro- 

 viene dall'essere i due raggi ciclici (assoluti) omologhi rispetto all'antinvolu- 



