UN NUOVO CAMPO PI KICERCHE GEOMETRICHE 307 



quale, avendo per punti uniti quelli in cui la retta stessa è 

 incontrata dalle altre rette unite, ne avrà una catena (n. 16). 

 Similmente per ogni punto unito passa una catena di rette unite. 

 Da queste considerazioni risulta subito che fra i punti uniti 

 dell' antinvoluzione piana se ne possono in infiniti modi pren- 

 dere 4 in guisa che siano indipendenti fra loro ; sicché, ricordando 

 la definizione delle catene di 2 a specie (n. 12), concludiamo che 

 ogni antinvoluzione tra gli elementi di una forma di 2 a specie 

 ha per elementi uniti gli elementi di una catena di 2 a specie. 



20. Le proprietà delle catene di 2" specie che già notammo 

 (n. 1 2) potersi dedurre dalla considerazione degli elementi reali 

 di una forma di 2 a specie reale derivano anche subito da quelle 

 delle antinvoluzioni nelle forme di 2 a specie. Così 'dal n. prec. 

 già segue che: data in un piano una catena di 2 a specie, ogni 

 retta che non le appartenga rincontra in un punto solo, mentre 

 ogni retta della catena rincontra lungo una catena rettilinea; 

 similmente le rette della catena passanti per uno qualunque 

 dei suoi punti formano una catena , mentre per ogni altro 

 punto passa una sola retta della catena. Un' antinvoluzione 

 piana fa dunque corrispondere ad un punto qualunque A del 

 piano non posto nella catena fondamentale quello A' che sulla 

 retta passante per A ed appartenente alla catena , cioè avente 

 comune con essa una catena rettilinea, è rispetto a quest'ultima 

 l'armonico di A (e noi lo diremo armonico di A anche rispetto 

 alla catena piana) : e dualmente. 



Si vede inoltre che i punti della catena piana son proiettati 

 da ciascuno di essi mediante una catena semplice di rette (ognuna 



zione, oppure uniti per questa. Nel 1° caso, se l'antinvoluzione è priva di 

 catena fondamentale, vi sono infinite coppie di raggi omologhi perpendicolari, 

 le quali costituiscono una catena; se invece l'antinvoluzione ha una catena 

 fondamentale i raggi di questa sono a coppie perpendicolari fra loro. Nel 2" 

 caso, cioè quando si ha una catena contenente i raggi ciclici (che perciò si 

 potrebbe chiamare catena circolare di raggi), accade in pari tempo che essa 

 è il luogo di infinite coppie di raggi perpendicolari, e che vi sono infinite 

 coppie di rette perpendicolari armoniche rispetto ad essa costituenti pure una 

 catena (queste due catene, circolari entrambe e permutabili fra loro, son le- 

 gate per modo che l'angolo di ogni raggio dell'una con un raggio dell'altra 



ha per parte reale r, ossia ha una tangente di modulo 1). 



