310 CORRADO SEGKE 



22. Forme di 3 1 specie. — Consideriamo finalmente un 'an- 

 tinvoluzione fra gli elementi dello spazio. Essa ammette sempre 

 un' infinità di rette unite, le quali si possono riguardare sia 

 come le congiungenti di coppie di punti omologhi, sia come le 

 intersezioni di coppie di piani omologhi. Per ogni punto non 

 unito ne passa una; su ogni piano non unito ne giace una. Su 

 ciascuna retta unita le coppie di punti omologhi formano una 

 antinvoluzione ; e così le coppie di piani omologhi passanti per 

 essa formano un' antinvoluzione. 



Se Tantinvoluzione spaziale ammette un punto unito, allora 

 il piano che congiunge una retta unita qualunque non passante 

 per esso a questo punto sarà pure unito; e così pure dall'esi- 

 stenza di un piano unito segue quella di punti uniti sulle infi- 

 nite rette unite. In tal caso adunque l' antinvoluzione ammette 

 infiniti punti uniti formanti un sistema tale che ogni retta unita 

 lo sega secondo una catena rettilinea ed ogni piano unito lo 

 sega secondo una catena piana. Ne segue subito che si possono 

 scegliere 5 punti uniti in guisa che siano indipendenti, e però 

 (n. 1 2) che i punti ed i piani uniti formano una catena spaziale. 

 Se un' antinvoluzione dello spazio ammette un punto ovvero un 

 piano unito, essa ammette una catena spaziale fondamentale. 



Segue inoltre dalle osservazioni precedenti che, data una 

 catena spaziale qualunque, ogni retta ed ogni piano che le 

 appartengano rincontrano secondo una catena rettilinea o piana, 

 mentre ogni retta che non le appartenga o non V incontra 

 affatto o V tncontra in un punto solo, ed ogni piano che non 

 le appartenga V incontra secondo una catena rettilinea. Da 

 una retta qualunque della catena i punti di questa son pro- 



La catena piana appare così rappreseutata dalle due equazioni reali (4) e (5)' 

 da cui però si tolga la retta A = (1 = 0). In luogo di quelle equazioni si 

 può scrivere : 



ABC 



(6) 



C 



= 



(Del resto, se si osserva che i valori delle A, B, C in ogni punto del piano 

 si posson considerare come coordinate del punto, queste equazioni , le quali 

 vengono in sostanza ad esprimere che il punto ha coordinate reali, coincide- 

 ranno con un'osservazione fatta in principio del n. 13, od anche con la rap- 

 presentazione parametrica delle catene piane data al n. 14). 



