UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 311 



jettati mediante una catena semplice di piani (in cui però 

 ogni piano ne projetta una catena piana), (*) ecc., ecc. 



23. L' esistenza di antinvoìuzioni dello spazio prive ili 

 punti e piani uniti si può vedere facilmente ricorrendo alla co- 

 struzione delle anticollineazioni data al n. 4. Si determini in 

 fatti fra due stelle distinte S, S' un' anticollineazione la quale 

 faccia corrispondere fra loro involutoriamente i fasci di piani 

 aventi per asse SS': ciò è possibile evidentemente in infiniti modi, 

 e si può anzi scegliere ad arbitrio l' antinvoluzione che così si 

 viene ad avere tra i piani per S S'. Se allora di ogni punto P , 

 intersezione di due raggi di S, S', chiamiamo omologo il punto P' 

 in cui si taglieranno i raggi rispettivamente corrispondenti a 

 quelli in S', S , avremo stabilito nello spazio un'anticollineazione 

 involutoria, di cui farà parte la data antinvoluzione del fascio 

 di piani S S' : quindi a seconda che questa non ha piani uniti 

 o ne ha una catena, segue dal num. prec. che l'antinvoluzione 

 dello spazio non avrà alcun punto o piano unito, oppure ne avrà 

 una catena spaziale. (**) 



Merita di essere rilevato il fatto che il sistema delle rette 

 unite di un' antinvoluzione dello spazio priva di catena fonda- 

 mentale non ha ne punti ne piani singolari ; sicché per ciascun 

 punto ed in ciascun piano passa sempre una soia retta del 

 sistema. Nei sistemi di rette algebrici è noto che questo fatto 

 non può presentarsi ; e solo se il campo geometrico si limita 

 agli elementi reali si ha nella congruenza lineare reale priva di 

 rette direttrici (reali) un fatto analogo. — (***). 



(*) Se ne trae ad esempio che la catena spaziale si può considerare come 

 l'intersezione di tre oo 5 costituite da catene semplici di piani aventi comune 

 un piano ^da cui si astrae' e quindi, analogamente alla nota precedente, si 

 può rappresentare così : 



A B C D 



L) 



= . 



(**) Proseguendo i ragionamenti fatti qui e al n. 19 si vede subito che: 

 in ogni spazio di dimensione pari tutte le antinvoìuzioni hanno infiniti punti 

 uniti, cioè ammettono una catena fondamentale ; in uno spazio di diniensione 

 impari vi sono invece delle antinvoìuzioni con catene fondamentali e delle 

 antinvoìuzioni prive di punti uniti. 



(***) Per le antinvoìuzioni in forme di 1' specie abbiamo già considerata 



