312 CORRADO SEGRE 



24. Date due antinvoluzioni in una stessa forma fondamen- 

 tale di specie r possiamo facilmente trovare il numero delle 

 coppie di elementi omologhi che esse hanno a comune. Ogni 

 tal elemento sarà in fatti unito per la collineazione che è pro- 

 dotto di quelle due antinvoluzioni ; e viceversa ciascuno degli 

 elementi uniti (r-f-1 in generale) di questa collineazione avrà 

 evidentemente uno stesso elemento per omologo in ambe le an- 

 tinvoluzioni. Separando il caso di due elementi omologhi di- 

 stinti da quello di due elementi omologhi coincidenti, abbiamo 

 dunque che : due antinvoluzioni di una forma di specie r 

 hanno in generale a comune un certo numero k (tale che 

 0<27v<r+l) di coppie di clementi omologhi distinti ed 

 inoltre r — 2&+1 elementi uniti. 



Così, ad esempio, due antinvoluzioni in una forma semplice 

 hanno comune in generale una coppia di elementi omologhi 

 distinti , oppure due elementi uniti. Due catene piane hanno sempre 

 un punto a comune ; in generale o ne hanno tre (e le tre rette che 

 li congiungono a due a due) , oppure ne hanno un solo, ma am- 

 mettono inoltre una coppia comune di punti armonici (sull'unica 

 retta che esse hanno in tal caso a comune). Due antinvoluzioni 

 dello spazio possono presentare in generale i seguenti casi: 1° quattro 

 punti uniti comuni, 2° due punti uniti comuni ed una coppia co- 

 mune di punti omologhi distinti, 3° due coppie di punti omologhi 

 distinti a comune; in ciascuno di questi casi si vede poi subito 

 quali piani e rette, congiungenti di quei punti, siano uniti op- 

 pure siano omologhi in entrambe le antinvoluzioni (*) — Noi pre- 

 scindiamo, come si vede, dai casi particolari che la collineazione, 



la relazione di permutabilità. Per due antinvoluzioni nel piano o nello spazio 

 la condizione di permutabilità coincide (v. la nota al n. 17) con quella di 

 dare per prodotto una collineazione involutoria del piano o dello spazio. Si 

 avranno dunque ad esempio le antinvoluzioni spaziali permutabili ad una 

 data facendo il prodotto di questa e di un'omologia armonica il cui centro 

 ed il cui piano siano uniti per l'antinvoluzione, ovvero il prodotto di questa 

 e di un'involuzione rigata i cui assi siano rette unite, oppure rette omologhe, 

 per l'antinvoluzione. 



(*) Occorrendoci ancora di considerarli in seguito, chiameremo di l a o 

 di 2 a specie un triangolo unito di un'antinvoluzione piana secondo che tutti 

 e tre i suoi vertici son punti uniti di questa, oppure uno solo è punto unito 

 (e gli altri due son punti omologhi); e così di l' l t di 2 a ovvero di 3" specie 

 un tetraedro unito di un'antinvoluzione spaziale secondo che tutti e quattro 

 i suoi vortici sono uniti, o due soli, o nessuno. 



