UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 313 



prodotto delle due antinvoluzioni, può presentare sia pel coin- 

 cidere di alcuni fra gli r + 1 elementi uniti, sia pel diventare 

 infinito il loro numero; questi vari casi particolari, ben noti, 

 darebbero subito altrettante particolarità di posizione reciproca 

 clic due antinvoluzioni (o due catene) possono avere. 



Collegando la proposizione generale vista dianzi con un 

 modo di determinare le antinvoluzioni in una forma di specie r 

 che fu esposto al n. 11, noi vediamo, almeno nei casi generali, 

 che due catene qualunque di una stessa forma di specie r in- 

 dividuano un sistema infinito (o^ r ) di catene aventi a comune 

 un certo numero k (tale che 0<2 7e<r+l) di coppie di punti 

 armonici ed inoltre r— 2k-\-ì punti, e tale che per ogni altro 

 punto (indtpendente da quegli r+1) passa sempre una sola 

 catena del sistema. 



25. Tutte le proposizioni viste sulle antinvoluzioni e sulle 

 catene di una forma di V specie si possono applicare senza 

 modificazioni ad ogni forma semplice razionale, per esempio alle 

 antinvoluzioni (e catene) fra i punti di una curva razionale o 

 fra le generatrici di una rigata razionale. Ma conviene aggiun- 

 gere alcune osservazioni speciali, che si collegano al n. 7, e che 

 ci serviranno in seguito. 



Se si ha un' antinvoluzione sovra una conica o sovra una 

 cubica sghemba , segue dal n° citato che essa è contenuta in 

 una ben determinata antinvoluzione del piano della conica 

 ovvero dello spazio (la quale muta la conica o la cubica in se 

 stessa). L' antinvoluzione piana avrà una catena doppia fon- 

 damentale, la quale, a seconda che l'antinvoluzione fra i punti 

 della conica non ha punti uniti ovvero ne ha una catena sem- 

 plice, non incontrerà affatto la conica, ovvero l'incontrerà se- 

 condo questa catena semplice (che noi, in opposizione alle catene 

 semplici rettilinee o di 1° ordine, chiameremo catena semplice 

 conica o di 2° ordine). Così se 1' antinvoluzione piana è il 

 coniugio sovra un piano reale , sicché la conica sarà reale , 

 i due casi corrispondono rispettivamente all'essere questa curva 

 priva o no di punti reali. — Se invece si tratta di una cubica 

 sghemba, a seconda che l'antinvoluzione fra i suoi punti è priva 

 di punti uniti o ne ha una catena semplice (cubica o del 3° 

 ordine), l'antinvoluzione spaziale che la contiene sarà a sua volta 

 priva o no di catena fondamentale: invero quando quest'antin- 



Atti R. Accad. - Parte Fisica, ecc. — Voi. XXV, 23 



