UN NUOVO CAMPO DI K1CEKCHE GEOMETRICHE 315 



Esaminiamo un po' meglio questa corrispondenza. Ugni ca- 

 tena rettilinea di C incontra in un punto la catena rettilinea 

 posta su PA, e per conseguenza si proietta su r secondo una 

 catena rettilinea passante per A Ma una catena rettilinea qua- 

 luittjnr di r è proiettata da P mediante una catena semplice 

 di rette: la catena semplice delle rette corrispondenti rispetto al- 

 rantinvoluzione C uscenti dall'armonico P' di P sarà antiproiettiva, 

 o - ciò che fa lo stesso, trattandosi di catene, - proiettiva a quella; 

 e perciò genererà con quella una catena semplice conica (v. n. 

 2 5) posta su C. Vale a dire : alle' catene rettilinee, o di 1° 

 or»' ine. di /• corrispondono su C delle catene coniche, o di 2° 

 ordi:ie (poste su coniche passanti per P e P'). Se poi si pro- 

 ietta una catena conica di C da P, allora, se la conica in cui 

 sta la catena passa per P, le rette proiettanti formeranno evi- 

 dentemente una catena semplice, sicché si otterrà come proie- 

 zione su r una catena rettilinea. Iu caso contrario, considerando 

 la catena conica su C come generata da fasci proiettivi di rette, 

 anzi di catene rettilinee giacenti in C, fasci coi centri sulla ca- 

 tena conica medesima, si vede che la sua proiezione su r sarà 

 una oc' di punti, che diremo pure di 2" ordine, e che si ge- 

 nera in infiniti modi come luogo dei punti d 5 intersezione delle 

 catene omologhe di due fasci proiettivi di catene rettilinee aventi 

 un punto base in A e l'altro in un punto arbitrario della ©e 1 . 

 Essa è tagliata da una catena rettilinea di r in 4 punti al più 

 (poiché due catene coniche di (1 si tagliano al più in 4 punti); 

 ma se questa catena rettilinea passa per A, essa non può in- 

 contrarla che in altri 2 punti : il punto A è doppio. Le coor- 

 dinate dei punti della catena conica si possono rappresentare 

 come forme quadratiche di due parametri reali; ed in modo 

 simile si potranno rappresentare quelle dei punti della sua pro- 

 iezione. ('*). 



(*) Se la catena C si compone dei punti reali di un piano e P, P' sono 

 i punti ciclici di questo, la corrispondenza considerata si riduce alla rappre- 

 sentazione nota dei punti complessi di una retta r coi punti reali del piano; 

 alle catene semplici od oo 1 di 1° ordine di r corrispondono i cerchi (reali) del 

 piano; ma ai punti reali di una conica reale qualunque corrispondono in ge- 

 nerale su r i punti di una oo 1 di 2° ordine, ecc. 



A proposito dell'ordine di una oo 1 iperalgebrica di punti di una retta r 

 osserviamo ancora che esso fu definito in generale nella introduzione di que- 

 sto Saggio; e che, se si rappresenta r sulla sfera reale, sicché la oo 1 ha per 



