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Queste osservazioni ed altre che si potrebbero fare intorno 

 alla corrispondenza fra C ed r si potrebbero anche, sopprimendo 

 la r, riferire alla corrispondenza fra i punti di C e le rette che 

 le proiettano da P. Trasportate allora per dualità, daranno delle 

 proprietà della corrispondenza fra le rette di una catena piana 

 C ed i punti di una retta r che ne sono le tracce. Questa 

 corrispondenza è univoca, tranne pel punto d' intersezione di r 

 con C al quale corrispondono in C le infinite rette di una ca- 

 tena semplice. Ad una catena semplice di r corrispondono in 

 generale in C le rette di una oo 1 di 2 a classe, cioè le tangenti 

 di una catena conica; ma inversamente le tangenti di una ca- 

 tena conica segano r in generale secondo una oc 1 di 2° ordine. 

 Se fra due rette r, r di un piano consideriamo la corrispon- 

 denza che si ha chiamando omologhi due punti che stiano su 

 una stessa retta della catena piana C, avremo una corrispon- 

 denza univoca tranne che pei due punti in cui r, r' son ta- 

 gliate da C, ognun dei quali ha per corrispondenti sull'altra 

 retta tutti i punti di una catena semplice. Ora dalle ultime 

 osservazioni segue che in generale questa corrispondenza univoca 

 sarà quadratica , cioè farà corrispondere ad ogni catena retti- 

 linea, od oo 1 di 1° ordine, dell'una retta una oo 1 di 2° ordine 

 sull'altra retta (col punto singolare di questa per punto doppio). 

 Solo quando r, r fossero armoniche rispetto a C la corrispon- 

 denza si ridurrebbe ad un'antiproiettività (v. n. 21). 



imagine una curva algebrica reale delia sfera, cioè l'intersezione completa 

 di questa con una superficie algebrica, l'ordine della oo 1 di punti di r sarà 

 precisamente l'ordine di quella superficie (mentre nella rappresentazione di 

 r sul piano reale la oo 1 d'ordine n ha per per imagine una curva d'ordine 

 2n con due punti n-pli nei punti ciclici, od una degenerazione di una tal 

 curva). Quindi una oo' di 2» ordine corrisponde all'intersezione della sfera con 

 una quadrica, e dalle note proprietà di questa curva biquadratica, per es. 

 dai coni quadrici che la contengono, seguono delle proprietà della oo 1 di 2° 

 ordine, le sue generazioni mediante fasci proiettivi di catene, l'esistenza di 

 2 o di 4 antinvoluzioni che la trasformano in se stessa, ecc. La oo 1 di 2° 

 ordine che sopra si è considerata in r è particolare avendo un punto doppio 

 (è razionale, mentre quella generale è eUillìcfi); la oo 1 di 2° ordine generale 

 di r non si può considerare come proiezione di una oo 1 di 2° ordine non ret- 

 tilinea: vedremo invece nel seguito di questo lavoro che si può ottenere 

 come projezione di una oo 1 piana di 3° ordine (intersezione di tre iperconiche) 

 da un suo punto. — (Tutte queste osservazioni saranno completate da altre 

 che si troveranno in altro scritto). 



