DM NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 377 



elementi l'uno è incidente al polare dell'altro, viceversa questo 

 sarà incidente al polare del primo, ed i due elementi si diranno 

 reciproci. Così un punto ha infiniti punti reciproci sulla sua retta 

 polare, oppure infiniti punti e rette reciproche sul suo piano po- 

 lare. Una retta nel piano ha per reciproche tutte quelle che pas- 

 sano pel suo polo, e nello spazio tutte quelle che si appoggiano 

 alla sua polare. Ecc. Un elemento autor tciproco, cioè incidente 

 al suo polare, si dirà pure unito: però nello spazio la denomi- 

 nazione di unite sarà riservata alle rette autopolari. — 



Se una retta p è unita iu un 'antipolarità piana, cioè con- 

 tiene il proprio polo P , è chiaro che né per questo passerà al- 

 cun'altra retta unita, né su p starà alcun altro punto unito. Ma 

 nel caso contrario, cioè se p e P non sono incidenti, l'antipo- 

 larità (che sempre riferisce antiprojettivamente due forme omo- 

 loghe qualunque) stabilirà fra la punteggiata p ed il fascio di 

 rette P un 'antiproj etti vita in posizione involutoria : ne deriva che 

 i punti reciproci su p (o le rette reciproche per P) si corrispon- 

 dono in un'antinvoluzione, e quindi che su p o non sta alcun punto 

 unito (e per P non passa alcuna retta unita), oppure ne stanno 

 infiniti formanti una catena (e per P passa una catena di rette 

 unite di cui quella è sezione). La possibilità che esista una retta 

 di cui tutti i punti siano uniti rimane, come si vede, assoluta- 

 mente esclusa. 



Segue dunque che se un'antipolarità piana ammette un punto 

 unito, essa ne ammetterà oc?, giacché su ognuna delle oo 2 rette 

 passanti per quello ve n'è una catena, eccezion fatta per la retta 

 polare del punto, la quale non contiene altri punti uniti. Questa 

 varietà oo 3 di punti si dirà iperconica [fondamentale per l'an- 

 tipolarità), e sue tangenti nei vari punti le polari di questi nel- 

 l'antipolarità, cioè le rette unite di questa (*). Mentre la tangente 

 in un punto all'ipercoaica non l'incontra altrove, ogni altra retta 

 del piano o la sega secondo una catena rettilinea o non l'incontra 

 affatto. Similmente per un punto dell 'iperconica passa una sola 

 tangente di questa, la tangente in esso; per ogni altro punto o non 

 passa alcuna tangente o ne passano infinite formanti una catena : 

 il punto si dirà allora risp. interno ovvero esterno all'iperconica. 



(*) Quest'applicazione del nome di tangente, come pure quella che ne fa- 

 remo nel n. aeg. alle iperquadriche sono d'accordo colle definizioni generali 

 di tangenti alle oo 3 di punti di un piano ed alle oo s spaziali date al n. 15. 



