UN "NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 379 



piano non conterrà alcuna retta autopolare e quindi alcun altro 

 punto dell'iperquadrica, oppure segherà questa secondo una ca- 

 tena semplice di rette (autopolari). 



29. Se un'iperquadrica contiene una retta r, non solo ogni 

 piano passante per questa, ina anche ogni altro piano tangente 

 all'iperquadrica segherà questa secondo una catena di rette, pe- 

 rocché oltre che nel proprio punto di contatto la incontrerà in 

 un punto di r. Ne segue che un'iperquadrica la quale contenga 

 una retta ne contiene oo 4 , per modo che da ogni punto (od in 

 ogni piano tangente) dell'iperquadrica ne esce una catena sem- 

 plice. Essa si dirà allora iperquadrica rigata. Per una retta non 

 tangente ad una siffatta iperquadrica accadrà simultaneamente che 

 la seghi (in una catena di punti) e che stia in (una catena di) 

 piani tangenti; e viceversa, se una retta che non sia tangente ad 

 un'iperquadrica ne contiene un punto e sta in un piano tangente, 

 Tiperquadrica sarà rigata. Se una retta taglia* un'iperquadrica 

 rigata lo stesso accadrà per la sua polare e tutte le infinite rette 

 che si appoggiano alle due catene rettilinee d'intersezione staranno 

 sull 'iperquadrica, poiché ognuna di esse avrà per polare se stessa. 



Su un'iperquadrica rigata si possono evidentemente tracciare 

 infiniti quadrangoli, pentagoni, esagoni, .... sghembi (semplici). Dato 

 un pentagono sghembo AB CD E è individuata tiri iperquadrica 

 rigata che ne contiene i cinque lati. Invero l'antireciprocità che 

 ai vertici A, B, C, D, E di quel pentagono fa corrispondere risp. 

 le facce EAB, ABC, BCD, CDE, DEA, avrà i lati AB, BC, 

 CD, DE, E A per rette autoomologhe e farà corrispondere inver- 

 samente a quelle facce risp. quei vertici. Sarà dunque un'antipola- 

 rità la cui iperquadrica fondamentale conterrà quelle cinque rette. 



30. Kesta così stabilita per incidenza l'esistenza delle iper- 

 quadriche rigate. Ma per ottenere un modo affatto generale di 

 costruzione di tutte le specie di antipolarità in uno con nuove 

 proprietà di queste conviene considerare la permutabilità fra an- 

 tinvoluzioni ed antipolarità , cercando le proposizioni che per 

 le forme di specie superiore corrispondono a quelle sulle forme di 

 l a specie viste ai n. 1 17 e 18. 



Un'antinvoluzione avente per punti uniti i vertici di un trian- 

 golo o tetraedro polare di un'antipolarità, cioè di un triangolo 

 o tetraedro tale che rispetto a questa corrispondenza i vertici 



