380 CORRADO SEGRE 



abbiano per polari i lati o le facce opposte, è permutabile al- 

 l'antipolarità. Invero il prodotto delle due corrispondenze sarà una 

 reciprocità in cui ai vertici del triangolo o del tetraedro corri- 

 spondono i lati o le facce opposte, cioè sarà una polarità. (V. 

 la nota al n. 17). 



Ne segue che, dato un triangolo ABC come polare per un'an- 

 tipolarità, la polare di un punto qualunque P del piano non si 

 potrà più assumere ad arbitrio ; perocché Tantinvoluzione che ha 

 per punti uniti A, B, C, P, essendo permutabile all'antipolarità, 

 avrà per retta unita la polare del punto unito P. Questa polare 

 deve dunque appartenere alla catena piana che contiene ABC e 

 P. (*) — Analogamente si vede che il piano polare di un punto 

 rispetto ad un'an tipolari tà di cui è dato un tetraedro polare deve 

 stare nella catena che congiunge quel tetraedro a quel punto. — 



Viceversa, se per determinare un' antipolarità si dà ad ar- 

 bitrio un triangolo o tetraedro polare e di un punto (non posto 

 su alcun lato o faccia) si dà come polare una retta od un piano 

 (non passante per alcun vertice) della catena piana o spaziale 

 che congiunge il punto al triangolo o tetraedro, l'antipolarità 

 riesce ben determinata. In fatti, considerando ad esempio il caso 

 dello spazio, rantireciprocità determinata facendo corrispondere 

 ai 4 vertici del tetraedro ed al quinto punto dato risp. le 4 

 facce opposte ed il quinto piano dato si può considerare come 

 il prodotto, in qualunque ordine, della polarità determinata dalle 

 stesse coppie di elementi omologhi e deirantinvoluzione che ha tutti 

 questi elementi per elementi uniti, cioè che ha la catena nomi- 

 nata per fondamentale. Essendo dunque il prodotto di due corri- 

 spondenze involutorie permutabili, queirantireciprocità sarà anche 

 essa involutoria, cioè un'antipolarità. 



Come poi dai dati si riconosca la specie dell'antipolarità che 

 si determina in questa guisa vedremo fra poco. 



31. È bene avvertire che le antinvoluzioni spaziali permutabili 

 ad un'antipolarità non sono solo quelle considerate nel n. prec. 

 Se un'antinvoluzione ed un'antipolarità sono permutabili, il loro 

 prodotto sarà una polarità, e viceversa il prodotto di una pola- 

 rità ed un'antinvoluzione permutabili è un' antipolarità permuta- 



(*) Ciò si dedurrebbe ancbe facilmente dalla seconda proposizione del n. 17, 

 applicandola ai lati del triangolo. 



