UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 381 



bile con esse. Ma una polarità dello spazio può presentare due 

 casi ben distinti, secondo che è una polarità ordinaria (rispetto 

 ad una quadrica), ovvero un sistema nullo. Questo 2° caso, che 

 finora non s'era considerato, è particolarmente notevole quando 

 l'antinvoluzione spaziale ammette una catena fondamentale. Allora 

 ogni punto di questa, essendo unito per l'antinvoluzione, avrà 

 rispetto al sistema nullo per corrispondente un piano che gli 

 corrisponderà pure nell 'antipolarità : questa avrà dunque anche 

 essa per punti uniti tutti i punti di quella catena, cioè ammet- 

 terà un'iperquadrica fondamentale contenente tutta la catena. 

 Ogni retta della catena la quale sia unita pel sistema nullo sarà 

 pure unita per l'an ti polarità, cioè giacerà sull'iperquadrica. Questa 

 è dunque rigata. Viceversa un'iperquadrica rigata contiene infi- 

 nite catene spaziali, ossia è permutabile con infiniti sistemi nulli: 

 un pentagono gobbo tracciato su essa individua oltre a lei (n. 29) 

 anche una catena spaziale ed un sistema nullo che ne hanno i 

 cinque lati per rette unite ; e le tre corrispondenze così deter- 

 minate sono mutuamente permutabili. (*) 



Nel piano non esistendo altre polarità che quella rispetto ad 

 una conica, non si hanno da fare considerazioni analoghe. Una 

 iperconica non può contenere una catena piana, poiché altrimenti 

 tutti i punti di questa sarebbero uniti per la reciprocità prodotto 

 dell'an tipolari tà e dell'antinvoluzione ; il che è impossibile. (**) 



32. Se si determina un'antipolarità, piana o spaziale, come 

 prodotto della polarità rispetto ad ima conica o quadrica e di 

 un'antinvoluzione che le sia permutabile ed abbia una catena fon- 



(*) Le catene spaziali contenute in un'iperquadrica rigata si ottengono 

 pure in quest'altro modo. Si prendano due rette polari rispetto all'iperqua- 

 drica sì che la seghino entrambe in due catene rettilinee. Ogni catena spa- 

 ziale contenente queste due catene rettilinee (che vien determinata dandone 

 ancora un punto allineato con due punti di quelle), starà sull'iperquadrica, 

 perchè per ciascun suo punto passerà una retta appoggiata a quelle due ca- 

 tene e giacente in conseguenza (n. 29) sull'iperquadrica. 



(**) Solo le iperconiche degeneri che più tardi considereremo (n. 37) con- 

 tengono delle catene piane, ed anzi una proposizione vista al n. 20 (cfr. anche 

 la nota al n. 21) si può enunciare dicendo che ogni catena piana è in infiniti 

 modi l'intersezione (parziale) di due iperconiche degeneri. 



In generale quando un'iperquadrica appartenente ad S n contiene una ca- 

 tena generale di specie n, l'iperquadrica è necessariamente degenere se n è 

 pari. 



