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(lamentale, è facile riconoscerne subito la specie quando sia data 

 la natura dell'intersezione della catena con la conica o quadrica. 



In fatti osserviamo anzitutto che ogni punto della catena il 

 quale sia unito per la polarità o per l 'antipolarità sarà pure 

 unito per l'altra di queste due corrispondenze. Ne segue che se 

 ha luogo effettivamente un'intersezione della catena con la conica 

 o quadrica, l'antipolarità avrà un'iperconica od iperquadrica fon- 

 damentale, che nella catena considerata darà appunto quell'in- 

 tersezione. 



Viceversa se vi è un' iperconica od iperquadrica fondamentale, 

 esisterà quell' intersezione, cioè vi saranno dei punti comuni alla 

 catena ed all' iperconica od iperquadrica. Invero prendasi una retta 

 qualunque della catena, in modo che sia tagliata dall 'iperconica 

 od iperquadrica: la permutabilità fra l'antipolarità e l'antinvo- 

 luzione avrà per conseguenza la permutabilità fra le due catene 

 rettilinee in cui l'iperconica od iperquadrica e la catena piana 

 o spaziale segano la retta; donde segue (v. un'osservazione verso 

 la fine del n. 16) che queste due catene rettilinee dovranno in- 

 contrarsi in due punti. La retta considerata contiene dunque due 

 punti comuni alla catena piana o spaziale, all'iperconica od iper- 

 quadrica, ed alla conica o quadrica. 



Fissiamo ora la conica e determiniamo la catena piana che 

 le è permutabile seguendo il n. 25, cioè dando l'antinvoluzione 

 semplice che essa determina fra i punti della conica: a seconda 

 che quest'antinvoluzione ammetterà o no una catena conica fon- 

 damentale, l'antipolarità piana che risulta come prodotto ammet- 

 terà o no un'iperconica fondamentale. 



Similmente, fissata la quadrica, determiniamo secondo il n. 25 

 l'antinvoluzione spaziale che le è permutabile. Se essa è di l a 

 specie, cioè muta ogni schiera di generatrici in se stessa, allora 

 ove essa non abbia rette unite in nessuna di queste schiere, avrà 

 (v. n. cit.) una catena spaziale fondamentale la quale non incon- 

 trerà la quadrica: quindi l'antipolarità prodotto non avrà iper- 

 quadrica fondamentale. Ove invece in una schiera od in entrambe 

 esistano delle rette unite, ciascuna di queste essendo tale sì per 

 la polarità che per l'antinvoluzione, sarà pure unita per l'anti- 

 polarità; laonde questa ammetterà un 'iperquadrica fondamentale 

 rigata, contenente tutte quelle rette unite (mentre solo nell'ul- 

 timo caso l'antinvoluzione spaziale ha una catena fondamentale). 

 — Se poi l'antinvoluzione permutabile alla quadrica è di 2 a specie, 



