UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 383 



la sua catena fondamentale incontrerà (sempre secondo il n. 25) 

 la quadrica in oo 2 punti: quindi l 'antipolarità avrà un' iperqua- 

 drica fondamentale. Ma questa non sarà rigata: invero uno qua- 

 lunque di quegli oo~ punti ha uno stesso piano della catena spa- 

 ziale per piano tangente alla quadrica ed all'iperquadrica, e nel 

 fascio delle rette per quel punto in quel piano l 'antipolarità de- 

 termina un'antinvoluzione A che è il prodotto dell'antinvoluzione 

 B determinatavi dall'antinvoluzione spaziale per l'involuzione I 

 determinata dalla polarità, cioè per un'involuzione avente per 

 rette unite due rette omologhe di B; ora poiché B ha una ca- 

 tena fondamentale, non potrà A averne (altrimenti una retta 

 unita di A avrebbe per omologa rispetto a B la sua coniugata 

 armonica rispetto alle due rette unite dell'involuzione I, cioè B 

 ammetterebbe due coppie di rette omologhe separantisi fra loro 

 nella catena semplice che le contiene, il che, secondo la fine del 

 n. 18, è assurdo). (*) 



33. Dato un triangolo o tetraedro polare di un' antipolarità, 

 per riconoscere la posizione dei suoi elementi rispetto a questa 

 si consideri una catena piana o spaziale passante pei suoi vertici: 

 essa sarà permutabile all'antipolarità (n. 30) e su essa, fra i 

 suoi punti e le sue catene, rettilinee o piane, quell 'antipolarità 

 determinerà una corrispondenza polare, che in forza delle cose 

 precedenti sarà della specie analoga a quella dell 'antipolarità 

 (cioè avrà punti uniti se questa ne ha, ecc., ecc.). Applicando 



(*) Seguendo la definizione generale di ente reale (v. n. 6) chiamiamo reale 

 un'antipolarità del piano reale o dello spazio quando essa è permutabile alla 

 corrispondenza di coniugio. Allora un'antipolarità reale si costruirà mediante 

 una polarità reale facendo corrispondere ad ogni elemento il coniugato di 

 quello che gli è omologo nella polarità (o, ciò che è lo stesso, l'omologo in 

 questa del coniugato). Se la polarità che essa definisce fra gli elementi reali 

 del piano o dello spazio non ha punti (reali) uniti l'antipolarità reale è priva 

 di punti uniti. In caso contrario essa ammetterà un'iperconica od iperquadrica 

 fondamentale reale che si può costruire come il luogo delle coppie di punti 

 complessi-coniugati che son reciproci in una polarità reale. Se si è nello 

 spazio e se la polarità che si ha fra gli elementi reali è la polarità rispetto 

 ad una quadrica iperbolica od ellittica, quell'iperquadrica sarà risp. rigata o 

 no. Se invece quella polarità è un sistema nullo, l'iperquadrica sarà necessa- 

 riamente rigata e conterrà tutti i punti reali dello spazio : essa si potrà definire 

 come l'insieme degli co 5 punti (reali ed imaginari) posti sulle co' 5 rette reali di 

 un complesso lineare reale. 



