UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 385 



contri la retta BC, e solo allora. Facendo per gli altri due lati 

 del triangolo ABC la costruzione analoga si dovrà trovare o che 

 in ciascun lato le due coppie di punti ottenute sulla catena ret- 

 tilinea si separano, oppure che ciò accade solo per un lato : nel 

 1° caso l'antipolarità non ammetterà un'iperconica fondamentale, 

 nel 2° ne avrà una per cui quel lato sarà esterno. 



In modo perfettamente simile si procederebbe nello spazio 

 per la questione analoga. (*) 



34. Qui ci conviene osservare, a proposito di siffatte de- 

 terminazioni delle antipolarità e delle proposizioni sui triangoli 

 e tetraedri polari viste al n. 30, che esse valgono, con poche 

 modificazioni, anche quando a queste ultime locuzioni si dia un 

 significato più ampio. Si chiami cioè autopolare ogni triangolo o 

 tetraedro che sia trasformato in se stesso dall'antipolarità. Al- 

 lora oltre ai triangoli polari finora considerati ve ne sarà una 

 2 a specie, composta di triangoli in cui solo un vertice ha per 

 polare il lato opposto, mentre gli altri due hanno per polari 

 lati che li contengono e sono perciò uniti (sicché 1' antipolarità 

 deve ammettere un' iperconica fondamentale). Similmente oltre 

 alla specie finora considerata di tetraedri autopolari ve ne sarà 

 una 2 a , in cui solo 2 vertici hanno per polari le facce opposte, 

 sicché gli altri due sono uniti per l'antipolarità (la quale deve 

 dunque avere un'iperquadrica fondamentale); ed una 3% in cui 

 ciascun vertice ha per polare una faccia che lo contiene sicché 

 4 spigoli del tetraedro formano un quadrilatero giacente nella 

 iperquadrica fondamentale (la quale deve perciò essere rigata). 

 Orbene, come s'è fatto per quelli di l a specie al n. 30 così si 

 può dimostrare in generale che se un'antinvoluzione ed un'anti- 

 polarità hanno un triangolo o tetraedro per unito (v. la nota 

 al n. 24) ed autopolare della stessa specie (con che intende 

 remo pure che ogni vertice abbia per omologo nell' antinvolu- 

 zione quel vertice che non gli è reciproco nell' antipolarità) , le 



(*) Data un'iperquadrica mediante un tetraedro polare ed un suo punto P 

 col relativo piano tangente tt (della catena spaziale che congiunge P al te- 

 traedro) si riconosce che l'iperquadrica è rigata o no secondo che, nella ca- 

 tena semplice che le contiene, le coppie di rette del fascio Prc appoggiate risp. 

 alle coppie di spigoli opposti del tetraedro non si separano mutuamente oppure 

 si separano. 



