UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 389 



Se invece un'iperconica vien riferita ad un triangolo auto- 

 polare di 2 a specie, la sua equazione prende la forma 



(cM ftii) X, X 9 ~X~ Ctg. Xq X, ~\~ Cl r,Xr,Xc, ' == - V , 



e similmente per un'iperquadrica riferita ad un tetraedro auto- 

 polare di 2 a specie si ha l'equazione 



( 1 U ) ^19 ^1 ^9 l~ ^91 ^->»^1 ~ P ^*QQ ^o ^o ~T~ @> aa X, X, U , 



mentre se è rigata e si riferisce ad un tetraedro autopolare di 

 3 a specie diventa 



( 1 1 J W,, X. Xq ~T~ l'gi Xq X, ~J~ ("oa **Q ^ \ — !" Q'A'Ì ^ \ "^O — . 



Naturalmente anche in queste equazioni s' intende che i coeffi - 

 cienti verifichino la (6). (*) 



uguali, ha luogo un teorema d'inerzia analogo a quello ben noto per le forme 

 algebriche quadratiche (e riducibile a questo col supporre reali tanto i coef- 

 ficienti delle forme quanto quelli delle trasformazioni lineari che si conside- 

 rano), che si può dimostrare con lo stesso ragionamento semplicissimo che; 

 si usa di solito per quello. Si può cioè in infiniti modi ridurre con una tra- 

 sformazione lineare una forma siffatta alla forma canonica 



* a i x iVi , 



ma sempre in quest'espressione, in cui i coefficienti saranno tutti reali, ve 

 ne sarà un numero fisso di positivi (e di negativi). — Considerando Tanti- 

 polarità che rappresenta geometricamente una tal forma si ha un'interpreta- 

 zione geometrica di questo teorema d'inerzia (simile a quella nota relativa alle 

 forme quadratiche). L'antipolarità non ha punti uniti se tutti i coefficienti 

 della forma canonica sono dello stesso segno. In caso contrario, se il numero 

 dei coefficienti di uno stesso segno è r , e il numero di quelli di segno opposto è 

 >>•, l'antipolarità ha un'iperquadrica fondamentale di quella specie che è 

 caratterizzata dal contenere degli S _ e non degli spazi superiori. 



(*) In generale per le iperquadriche di S d , oltre alla rappresentazione 

 canonica accennata or ora nella nota precedente, se ne hanno altre corri- 

 spondenti alle varie specie di (poligoni completi di d-\-i vertici appartenenti 

 ad S d , 0) piramidi autopolari che l'iperquadrica ammette. Esse son date 

 dall'equazione 



Za. ,x,x m = , ove o m i — ài m , 



i m l m ni t im ì 



in cui l,m indichino i numeri l,...,d-f-l, accoppiati secondo una qua- 

 lunque corrispondenza univoca involutoria ; come si vede ad esempio nello 

 equazioni (8),... (11). Allora la piramide fondamentale è autopolare: il ver- 



