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Da queste rappresentazioni canoniche, ed in particolare dalla 

 prima (che si trasforma subito nelle altre , ma ha il vantaggio 

 di valere per tutte le antipolarità), segue immediatamente che 

 due antipolarità della stessa specie (distinte o no), due iperconi- 

 che, o due iperquadriche non rigate, od infine due iperquadriche 

 rigate, sono fra loro projettive (ed antiprojettive) in infiniti modi : 

 potendosi prendere ad arbitrio due triangoli o tetraedri polari 

 come omologhi nella projettività (e nell'antiprojettività). (*) Si 



tice d'indice l ha per polare la faccia d'indice m , che è la sua opposta solo 

 per l = m. Se r sono le combinazioni d'indici distinti fra le coppie Im con- 

 siderate, altrettante saranno le coppie di vertici della piramide {autopolare 

 di specie r-f-1) le quali giaceranno sull'iperquadrica, e questa dovrà (come 

 appare da quell'equazione) contenere degli S r _ , , ad esempio quelli fonda- 

 mentali che congiungono rispettivamente i vertici delle r coppie. 



(*) Delle trasformazioni lineari della forma ^■o lm x l sè m (con a ml =a lm ) in 

 se stessa. — Tali trasformazioni, vale a dire le collineazioni permutabili ad 

 una data anti polarità, godono di proprietà analoghe (ma in certo modo più 

 generali) di quelle delle collineazioni che mutano in sé una data quadrica, 

 cioè delle sostituzioni ortogonali. Tanto dal punto di vista geometrico quanto 

 dal punto di vista algebrico esse presentano un grande interesse e meritano 

 di essere studiate. Oltre poi all'importanza che esse hanno in sé, vi è da 

 considerare, ad esempio, quella delle loro applicazioni alle funzioni di va- 

 riabili complesse che ammettono delle trasformazioni lineari in se stesse. 

 Invero le trasformazioni lineari i cui gruppi definiscono le funzioni modu- 

 lari ellittiche, ed in generale le funzioni Fuchsiane (specialmente nelle ri- 

 cerche dei signori Klein e Poincaré su quelle funzioni), son rappresentate 

 geometricamente dalle projettività che in una forma semplice mutano una 

 catena in se stessa. Similmente, in lavori che già nell'introduzione ho ri- 

 cordati , il sig. Picard si occupa delle funzioni di due variabili che am- 

 mettono un gruppo di trasformazioni lineari a coefficienti interi , le quali 

 corrispondono a certe collineazioni piane che mutano in se un'iperconica 

 fissa. E volendo generalizzare ancora si dovranno considerare quelle funzioni 

 dei punti complessi di un S rf che non mutano per convenienti gruppi discon- 

 tinui di collineazioni, le quali lascino fissa un'iperquadrica appartenente a 

 quello spazio. — Appare dunque opportuno (sebbene pel seguito di questo 

 Saggio non occorra) un cenno generale su tali trasformazioni. — 



Le particolarità di una collineazione di S rf dipendono tutte, com' è noto, da 

 quelle del suo determinante caratteristico (v. Segre: Sulla teoria e sulla classi- 

 ficazione delle omografie, ecc., Memorie della R. Acc. dei Lincei, ser. 3 a , 

 t. XIX, 1884): è dunque questo determinante che si tratta di esaminare. 



Supponiamo anzitutto che le sue radici siano tutte distinte, sicché la col- 

 lineazione abbia precisamente rf + 1 punti uniti. Allora se essa è permuta- 

 bile ad un'antipolarità, poiché i suoi punti uniti dovranno avere per polari 

 rispetto a questa i suoi S rf — 1 uniti, segue che quei punti saranno i vertici 

 di una piramide autopolare per l'antipolarità. Dunque corrispondentemente 



