UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 391 



trarrebbero anche facilmente i criteri per distinguere la specie 

 di un 'antipolarità, senza ridurne l'equazione a forma canonica: 

 così , nel caso dello spazio , vista l'invarianti vita del discrimi- 



alle varie specie di piramidi autopolari, vi saranno varie specie di collinea- 

 zioni trasformanti in se un' iperquadrica. Assumendo poi quella piramide 

 come fondamentale, la collineazione viene rappresentata da 



a/ s =p x s 



essendo le p s le radici del determinante caratteristico; mentre l'equazione del- 

 l'antipolarità prende la forma indicata nella nota preeed., dipendente dalla 

 specie della piramide autopolare. Quindi affinchè quella collineazione tra- 

 sformi effettivamente in se stessa 1' antipolarità, o meglio la forma che la 

 rappresenta analiticamente (il che suppone solo che si scelga conveniente- 

 mente un fattore per cui si moltiplicano tutte le variabili), è necessario e 

 sufficiente che per ognuna delle coppie d'indici Im ivi considerate sia 



P t Pm — 1". 



Queste relazioni provano che: una collineazione qualunque non muta in ge- 

 nerale nessun antipolarità in se stessa , ma se per una collineazione avente 

 precisamente d-\-i punti uniti distinti esiste un' antipolarità che le sia per- 

 mutabile , saranno tali tutte le infinite antipolarità per le quali la piramide 

 determinata da quei punti è autopolare della stessa specie che per quella 

 (proposizioni che sono già applicabili per d=:l e quindi per le catene unite 

 di una proiettività sopra una forma semplice). 



Ma questi risultati si possono generalizzare ed estendere ai casi in cui 

 il determinante caratteristico abbia radici multiple qualunque. Procedendo 

 in modo simile a quello che per le collineazioni permutabili ad una quadrica 

 io ho tenuto altrove (Ricerche sulle omografie ? sulle correlazioni in gene-' 

 rale, ecc., Memorie Acc. Torino , ser. 2% t. XXXVII, 1885; v. specialmente 

 i n.' 2 e 3) si ottengono infatti, tra le altre, le proposizioni seguenti : 



Per qualunque trasformazione lineare atta a mutare in se stessa una 

 forma iperalgebrica del tipo consideralo, il determinante caratteristico ha le 

 sue radici accoppiate per modo che ogni radice è coniugata al valor reciproco 

 della sua associala e in particolare ogni radice autoassociata ha per modulo 

 l'unità (sicché nello sviluppo del determinante caratteristico secondo le po- 

 tenze della variabile i coefficienti equidistanti dagli estremi sono coniugati , 

 a meno di un fattore). A due radici associate distinte corrispondono divisori 

 elementari del determinante aventi rispettivamente gli stessi gradi. 



Dalle note reciprocità che mutano la collineazione nella sua inverna e 

 gli spazi fondamentali di punti uniti negli spazi fondamentali di S rf _, uniti 

 risp. associati a quelli, facendole seguire dall'antipolarità data, si traggono 

 delle anticollineazioni che trasformano la collineazione nella sua inversa, 

 scambiando fra loro due spazi fondamentali di punti (o di S rf _, ) che corri- 

 spondono a radici associate e che perciò diciamo pure associati. Quindi t 

 due spazi fondamentali di punti e di S rf _,, i quali sono associati ad uno 

 stesso spazio fondamentale di punti saranno polari fra loro nell' antipolarità 



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