UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 393 



supponeva sempre. Però conviene considerare anche le antipo- 

 larità degeneri, per le quali il discriminante è nullo (cfr. n. 10). (*) 

 Si vede subito, in modo analogo a cose ben note sulle coniche 

 e sulle quadriche, che nel piano un 'antipolarità degenere di l a 

 specie fa corrispondere (come punti reciproci in essa) i punti 

 posti su rette omologhe di un'antinvoluzione di un fascio di rette: 

 se questa ha rette unite, l'antipolarità ha un'ipersonica fonda- 

 mentale degenerata nella catena di rette unite dell' antinvolu- 

 zione (**) ; il centro del fascio di rette è il punto singolare o 

 punto doppio dell'antipolarità e dell'iperconica ed è definito dalle 

 equazioni 



(14) 2a lm x l =0 . 



i 



Se l'antipolarità è degenere di 2 a specie, queste equazioni coin- 

 cidono e si ha così tutta una retta di punti singolari a ciascun 

 dei quali corrisponde ogni punto del piano: la retta stessa è 



(*) Definendo le antipolarità con equazioni tangenziali invece che con equa- 

 zioni locali si avrebbero altre degenerazioni, corrispondenti per dualità a quelle 

 che ora accenniamo. 



(**) Che gli oo 3 punti di una catena di rette di un fascio formino un'iper- 

 conica (e che similmente gli oo 5 punti di una catena semplice di piani for- 

 mino un'iperquadiica, ecc.) risulta subito dall'equazione reale 



A B — A B = 



che per la catena stessa abbiamo incontrata nella nota alla fine del n. 21; 

 ovvero anche dalla rappresentazione param etnea che di tali oo 3 punti si vide 

 al n. 14 (poiché uguagliandone le coordinate, a meno di un fattore, a quelle 

 forme (3), ed eliminando fra queste uguaglianze e le loro coniugate i para- 

 metri e quel fattore col suo coniugato si ottiene un'equazione reale e lineare 

 tanto nelle coordinate quanto nelle loro coniugate) — 



Valendosi della rappresentazione parametrica delle catene si vede facil- 

 mente la natura dell'intersezione di una catena con una forma iperaìgebrica 

 rappresentala da un'equazione reale. Basta in fatti sostituire in quest'equa- 

 zione alle coordinate (ed alle coniugate) le forme lineari dei parametri reali 

 A, /*,... (e le forme coniugate), che rappresentano la catena. Si avrà con ciò 

 un'equazione a coefficienti reali fra quei parametri, la quale saia di grado 2n 

 se i due ordini della forma iperaìgebrica sono eguali ad n. La discussione di 

 quell'intersezione si riduce dunque all'esame di una forma algebrica a coef- 

 ficienti reali di grado 2n , esame fatto dal punto di vista della realtà delle 

 variabili V,/*, ... — Applicando ciò alle ipersoniche ed iperquadriche si ha 

 ad esempio che le loro intersezioni risp. con catene piane e spaziali che non 

 vi giacciano sono le trasformate per projettività delle varietà dei punti reali 



