tJN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 395 



i legami che passano fra i vertici di due o più triangoli o te- 

 traedri autopolari in una stessa antipolarità, ecc., convien pas- 



coniche ed iperquadriche, delle proprietà di simmetria rispetto al centro (se 

 non è all'infinito), ai diametri od ai piani diametrali, completamente simili a 

 quelle note delle polarità, delle coniche e delle quadrighe, e collegantisi alla 

 nozione del centro di una catena rettilinea che si accennò nella nota sulle 

 proprietà metriche delle catene semplici posta alla fine del n. 18. Su esse, 

 come sulla distinzione delle iperconiche ed iperquadriche in specie basata sul 

 modo di comportarsi rispetto alla retta ed al piano all'infinito, non occorre 

 fermarsi. 



Un'iperconica che non sia tangente alla retta all'infinito avrà per equa- 

 zione, rispetto a due diametri reciproci come assi cartesiani, 



axx -\-byy=. e , 



essendo a, b, e reali. Dunque le norme delle distanze di un punto dell' iper- 

 conica da due diametri reciproci son legate da un'equazione lineare a coeffi- 

 cienti reali. Viceversa, se si legano le norme delle distanze di un punto da 

 due o più rette del piano mediante un'equazione lineare (la quale sia possi- 

 bile), il punto descriverà in generale un'iperconica, se i coefficienti dell'equa- 

 zione hanno rapporti reali: perocché allora una tal equazione equivale ad 

 un'equazione reale bilineare nelle coordinate del punto e nelle coniugate. Invece 

 non sembra che si possa definire in modo semplice un'iperconica conside- 

 rando le distanze da punti fissi (come si fa per le coniche quando si ricorre 

 ai fuochi): giacché tali distanze introdurrebbero delle funzioni quadratiche delle 

 coordinate del punto mobile. 



Applicando all'antinvoluzione fra i diametri reciproci alcune osservazioni 

 fatte alla fine della citata nota al n. 18 si hanno altri risultati. Un'iperconica 

 la quale non incontri la retta all'infinito ammette sempre una coppia di dia- 

 metri reciproci perpendicolari fra loro, cioè una coppia di assi, ed in gene- 

 rale una sola: ne ammette infinite (costituenti una catena) quando i puntici- 

 elici sono reciproci rispetto ad essa. Un'iperconica che tagli la retta all'infi- 

 nito e però abbia una catena di asintoti (tangenti passanti pel centro) avrà 

 pure due assi se i punti ciclici del piano non son separati da essa (sono en- 

 trambi interni od entrambi esterni); ma non ne avrà affatto nel caso con- 

 trario in cui essa separi i punti ciclici, ed allora vi sarà invece una coppia 

 di asintoti perpendicolari (e ve ne saranno infinite se si presenta la partico- 

 larità che i punti ciclici siano reciproci rispetto all'iperconica). Se poi si ha 

 un'iperconica circolare, cioè passante pei punti ciclici, allora vi saranno infi- 

 nite coppie di assi (costituenti una catena) ed infinite coppie di asintoti per- 

 pendicolari — Quanto alle iperconiche tangenti alla retta all'infinito, si vede 

 subito che ognuna di esse ammette un solo asse di simmetria. 



Se nessuno dei punti ciclici è interno ad un'iperconica, questa ammetterà 

 dei fuochi, cioè dei punti d'intersezione di tangenti dell'iperconica uscenti dai 

 due punti ciclici, ossia punti da ciascun dei quali esce una catena circolare 



