SOPRA ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI ECC. 435 



Analoghe espressioni si ottengono per le 



dry cPy <l'"ii 



d? ' d? " * rTT^ 



sottoponendo successivamente le 



V ; , y r " ... y r «— ■> (r = l f 2,. ..») 



a condizioni identiche a quelle che sono state poste per la y y 

 laonde considerando la 



V I Oi W + ^i ( x \) .•■•?.. K) + s <£„ (#„)] | 



come funzione di £ potremo applicare ad essa la forinola del 



d'"y 

 Taylor, ed anche la serie, se lini — - = . ed ottenere in tal 



ds'" 



modo una espressione analoga alla precedente. 



Qui pure può dimostrarsi che le y r " yj" non mutano in- 

 vertendo V ordine dei punti in cui sono calcolate. E superfluo 

 osservare che forinole e sviluppi consimili si ottengono per un 

 elemento che dipende da tutti i valori di n funzioni ciascuna 

 di più variabili indipendenti. 



§ 2. Queste forinole generali conducono direttamente a con- 

 siderare le funzioni di linee, di superfici e di iperspazi qualunque. 

 Siano 



(i) ... x=x{s) y=y{s) 0=0 (s) 



le equazioni che definiscono una linea chiusa L dello spazio. Se <p 

 è una funzione di L, essa sarà un elemento che dipenderà da 

 tutti i valori delle (1) ed in particolare la sua variazione potrà 

 essere espressa da 



ò>| [L] | =f(f' x 9x + <p' y 9y + f', 8#) ds , 



L 



in cui s rappresenta l'arco della linea L, e denotando con r/^S, y. 

 i coseni che la tangente alla linea L nel punto s. ove sono cal- 

 colate le derivate <p' x a,'cp' g , fa rispettivamente cogli assi delle 

 X, y, z, la relazione che le collega è la seguente 



