SOPRA ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI ECC. 443 



quindi 



<p\[L]\ = 



ri A[ cos », x cos », x + Af cos », x cos » 2 y + A"' cos » 4 a; cos » 2 * j 



' + £,' cos », y cos » 2 x + 5/' cos », w cos » 2 w + J5/" cos », */ cos » 2 £ ,• d«r d<7 



f + C,' cos », « cos » 2 a; + C," cos »! « cos » 2 y + C/" cos », cos » 2 z ) 



Denotando con ^ ft #i le coordinate del punto di <r, la cui 

 normale è », e con x 2 y 2 z 2 quelle del punto la cui normale 

 è » 2 avremo che i coefficienti 



a,\ *?* aì". b,\ b;\ b;\ c,\ <y\ c;\ 



saranno funzioni di x y , y y , 0, e x 2 , y 2 , z 2 . Mutando nell'inte- 

 grale precedente x x , ?/, , 0, in x 2 , y 2 , ^ 2 il suo valore non 

 cambia. Prendendo la media di queste due espressioni di y\[L]\ si 

 trova y\[L]\ espresso sotto la forma (7). 



Per questa proprietà denomineremo funzioni di 2° grado quelle 

 ora considerate ; la quale denominazione ci sembra ancor più 

 giustificata, perchè a questa categoria appartengono sempre le 2 e 

 potenze delle funzioni che si sono chiamate di 1° grado. 



§ 3. I risultati fin qui ottenuti non sono che un caso par- 

 ticolare di altri più generali che ora mi propongo di esporre. 



Con una derivazione eseguita sulle (2) abbiamo ottenuto le 

 (4) e da esse derivando nuovamente possiamo ottenere le 3 3 de- 

 rivate terze della funzione 9 ( [L]| espresse mediante le derivate 

 delle funzioni 



(8). . V>> A 2 (2) < V } < B vl^ L V 2) < 5 i2 (3) ' c i 2 (,) ' <V* c ^ 



che si trovano nei secondi membri delle (4) suddette. Se ora 

 osserviamo che alle derivate delle (8) sono applicabili le (2), 

 otteremo evidentemente le 3 3 derivate terze della <p | [L] | calco- 

 late nei punti s p s 2 ,« 3 della linea L espresse mediante i coseni 

 di direzione delle tangenti alla linea L nei punti s, , s 2 , s 3 e 3 3 

 funzioni di L e delle coordinate dei punti suddetti. Analogamente 

 partendo dalle forinole così stabilite per le derivate terze potremo 

 ottenere le 3 4 derivate quarte della funzione <p\[L]\ calcolate 

 nei punti s, , s 2 , s» , s 4 della linea L, espresse mediante i coseni di 

 direzioni delle tangenti alla linea L nei punti s, , s, , s 3 , s 4 e 3 



