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444 CORNELIA FABRI 



funzioni di L e delle coordinate di questi punti. In generale le 

 derivate n esime della <p\[L]\ calcolate nel punti s,,s 2 . . . s n della 

 linea L potranno esprimersi mediante i coseni di direzione delle 

 tangenti alla linea L nei punti s p s 2 ... s n e 3" funzioni di L e 

 delle coordinate dei punti s l ,s 2 ..s lt . Supponendo che queste 

 funzioni risultino indipendenti dalla linea L, vale a dire siano 

 solo funzioni delle coordinate dei punti s 1 ,s 2 ...s n , allora esse 

 possono tutte indicarsi con espressioni analoghe alla seguente: 



quando x, x, y, . . y, z, ... z, denoti uno qualsiasi dei 

 gruppi di n elementi che possono formarsi colle 3n quantità 



colla sola condizione che elementi x,y,z di eguale indice non 

 figurino nello stesso gruppo, ed in oltre pongasi la condizione 

 che le funzioni stesse non mutino valore permutando comunque 

 gì' indici x, . . . x t y t . . . y, z, . . . z, . 



i r Jl r+ì Jl h l h+i l n 



In questo caso può dimostrarsi che la funzione <p|[X]| viene 

 espressa mediante un integrale esteso n volte ad una superficie i 

 che ha per contorno la linea L nel seguente modo: 



J'JL P ^""% r 'r + ."" ;r 'i*'» + ,""''._[l j COSM 'i a: ll. COS "'l 3 'll C08 "'/*-' 



Abbiamo già veduto che questa proprietà sussiste per n uguale 

 ad uno od uguale a due, basterà dunque supporre vera la (9) 

 per le funzioni di linee le di cui derivate n esime , calcolate nei 

 punti s { , s 2 . . . s n della linea L dipendono nel modo sopra in- 

 dicato dai coseni di direzione delle tangenti nei punti s s . , . s n 

 della linea L e da 3" funzioni delle coordinate di questi n punti 

 e dimostrare che la formola analoga si ha per quelle funzioni 

 (p\[L]\ che hanno le derivate (n+l) esime esprimibili in modo 

 simile per 3" + ' funzioni delle coordinate degli (n + 1) punti in 

 cui sono calcolate. Per dimostrare ciò osserviamo che per la 

 <p\[L]\ vale la formola (5) e che, per le ipotesi fatte, le A, 

 B t C sono esprimibili mediante la (9) ossia per un integrale 



