

SOPRA ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI ECC. 445 



esteso n volte alla superficie <7 , laonde sostituendo nella (5) alle 

 A,B,C queste loro espressioni e passando al limite per 1^ = 0, 

 supponendo che per 7>=.0 sia cp|[Z/]|=0, risulta immediatamente, 



cp I [ L 1 1 = — - x 



' IL Jl (w + 1)! 



' r _ r _ J* _ n+t 



j 2/*'."" vw- \ v.-' v. ll t cos w '« x 1 1 cos "', 41 ( cos S' d7 - fZ7 



a i r+i k 



Per w = 2 abbiamo ottenuto le equazioni differenziali (7) e (7'). 



Un sistema analogo si ottiene partendo dalle funzioni più 

 generali che ora consideriamo. Supponendo che per le funzioni 

 esprimibili mediante un integrale esteso n volte alla superficie 7 

 si abbiamo le nS"~ l equazioni differenziali che risultano dalla 



( D 



\Z Pxi.>~x. x.y. .... y z ....* T" r Px,..-.x., y. .... v y. / .... i. 



'0^ 'l V «',•+• 'A 'A+i '«-. 2y. ', 'r 'r+i '/. < '*+■ '»-' 



u 



+a7*S 'U, •••• 



JV *, 



ponendo i= 1 , 2, ... w e considerando /, ... l r ìl r+l ... //, //,_,., ... /„_, 

 come una qualsiasi permutazione dei numeri 1,2... w; vedremo 

 che si ottengono equazioni analoghe per le funzioni esprimibili 

 mediante un integrale esteso (w + 1) volte alla superficie a. Dalle 

 ipotesi fatte risulta che le tre quantità AB C sono esprimibili 

 mediante la (9), se quindi denotiamo con a,b,c le funzioni p di 

 punti che entrano nella espressione delle suddette A.B,C\ 

 queste funzioni a ,b , e dovranno soddisfare alle seguenti n 3" 

 equazioni differenziali 



[3 .0 



+ — a jr ....x. y. .... y, y, s, ...o 



=o • 



" — C'»' rvv v <~ S ~T~ ~ ~~~ "** .... r* v .... v V £ .... S 



+ — &, .... r y ....*, ..... z = ! 



~T~ .» ^r .... .r v .... v z .... : s — » 



\ ^d 2i *> % Vt y ft V. '»-. < 



