446 CORNELIA FABRI 



le quali si ridurranno a sole 3 n se riterremo l'indice i come fisso. 

 Denotiamo con p le funzioni di punti per le quali sono espri- 

 mibili le derivate (n + l) eiime della <?\[L]\. 

 Dalla (5) deducendosi 



(p | [L] | = j (A cos n x -h B cos n y + Ccos n z) d a 

 dovrà aversi : 



Px .... x xx y .... y z .... z — a x .... i . x y y z. .... r. 



', t r ' n +, l r+i l h l h+x hi-, \ 'r l l r+i J/ h 'h+i '«-, 



Px.....x. x y, .... y. V; ti ....z. ** x.....x, y, •••■ y, y.z, ...-z, 



', l r H+l J l r+l 7 ' h Jl '/,+ , '„-, ', l r l r+i 7 'h 7 ' l h +l l n~, 



.... z, z. 





....a;, x y. . .. y. r. .... *. 



, V « V+i 'a 'a+, '„-, 



'Pjr,....x l jr .... y yy a ....:, = ^ x ,... , y .... y y z. .... z. 



', V W-i '/1 ' «4-1 l li+i 11—, ', V V+i '/< ' '/,+ ■ 11- 



1 r /•+■ l h «-f-i A + i '11— 1 ' ', 'r '; •+ 1 i 



r V4-1 h 7/+i 'n— i ' 



P, ...x x y .... y z .... z z C x. .... x. x.y. .... r z, .... i, 



Da ciò risulta che le J9 sopraindicate devono soddisfare alle 

 3" equazioni differenziali (11), le quali poi diverranno (n + 1) 3" 

 quando si faccia variare l'indice i da 1 ad »'+■!', e come è 

 facile vedere, esse sono appunto le (10) nel caso che si abbia 

 n + 1 in luogo di n . 



Con un metodo perfettamente simile a quello adoperato nello 

 studiare le funzioni di 2° grado, si può dimostrare che il valore 

 della (9), anche quando gli integrali sono estesi ad n superficie 

 7 lt a 2 . . . 7 n diverse, dipende solo dalle linee L l , L 2 . . . L n che 

 formano il contorno delle superfici stesse, e quindi è una fun- 

 zione (^[Lp . . Z„]| di queste linee. Inoltre è facile vedere che 

 la <\> \[L l . . . L n ]\ risulta una funzione di 1° grado rispetto a 

 ciascuna delle linee L ì . . . L n \ diventa di 2° grado in L r se 

 L r coincide con L s ; e finalmente coincide colla f \ [L] j , quando 

 le linee L x , L 2 . . . L n coincidono fra loro. 



