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448 CORNELIA FABRI 



simile a quella già data per le funzioni di 2° grado. E poi facile 

 vedere che la potenza n esin,a di una funzione di 1° grado è una 

 funzione di grado n . 



§ 4. Non sarà poi fuor di luogo il ricercare ancora le con- 

 dizioni a cui deve soddisfare una funzione di linee acciocché possa 

 svilupparsi in serie analoga a quella di Maclaurin. 



Supponiamo che la funzione <p|[£]| possa esprimersi mediante 

 una serie ordinata per funzioni di 1° ,2°, 3° . . . grado nel modo 

 seguente : 



<p | [ L ] \ = f ( p x cos nx + p y cos ny -\-p. cos nz) da + 



" (' ( P Xl .r 8 cos n x x cos n 2 x+p x ^cos n x x cos n 2 y+p Xl r ,cos n x x cos n 2 z\ 

 \ •+■ Py x x* cos w, y cos n 2 x+p yx y ,cos rc a */ cos w 2 2/+l> yi *, cos w^ cos w 2 0,dcj e 



J ( +|> a r COS Hj COS WgJC+J)^ftOfi g, C0S)? 2 2/-|-JP ^^COSM^COSWgg) 



o più brevemente, adoperando simboli altra volta usati, 

 (12') 9 \[L]\=\f l )p { ^+j"jV f jjP ' ^+Jjj^|*| *»&&+ • 



Evidentemente le p dovranno soddisfare alle equazioni a de- 

 rivate parziali che si ottengono dalle (10) ponendo sucessiva- 

 mente n = 1 , 2 , 3 . . . 



Dalle (12) e (12') ricaviamo 



<P I \ L\ j. i j 



hm U-t — ì- = jp x cos wrc + p y cos w# -f- p. cos ne = f t \p 



5=0 o" 



ove coswrr, cosn?/, cosw^ denotano i coseni di direzione della 

 normale n alla superficie (7 , ammettendo che il limite della 

 serie che comparisce nel primo membro, sia eguale alla serie 

 dei limiti. 



Laonde p x p y p z rappresentano i valori di questo limite quando 

 a nel tendere a zero si mantenga normale ad uno degli assi 

 coordinati, ossia, secondo la denominazione introdotta dal professore 

 Volterra, ci rappresentano le derivate della funzione <p j [L]\ ri- 

 spetto ai piani coordinati. Consideriamo ora la funzione 



^\[ L ]\ = 9\[L]\-ff:)p[cl7 ; 



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