SOPRA ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI ECC. 451 



(Tj , <7 2 . . . 0"„ rappresentano superfici aventi per contorno le linee 

 chiuse L l L 2 ...L n ed L indica una linea che racchiude un'area 

 infinitesima rispetto alle c x , a 2 . . o n ed abbia comune con cia- 

 scuna delle L., L 2 . . . L n un tratto infinitamente piccolo colla 

 condizione che questi n tratticelli devono avere direzione op- 

 posta secondo che si considerano situati sulla L o sulle L,. . . L„. 

 Dalle considerazioni ora esposte deduciamo in oltre che una 

 funzione -FJ[Z/]| sarà sviluppabile in serie analoga alla (12) ogni 

 qualvolta per le funzioni ^'([LJj, <i> 2 '|[.£]| •- . simili alle <f,|[£]| , 



'| [|L]| che da lei si deducono, esistono i limiti analoghi 



a quelli calcolati precedentemente per le t^/. ifi] I , <|/..,j[L]|. . . 

 e le quantità analoghe alle p x , p yì p s , p XXf ecc. soddisfanno 

 alle equazioni differenziali che si deducono dalle (10) ed oltre a 

 ciò è lini b u \[L\\ = . 



Può ancora dimostrarsi che esiste un solo sviluppo delle fun- 

 zioni di linee nel modo sopraindicato per funzioni di 1°, 2°. . . 

 grado perchè ponendo per ipotesi: 



©| [£]|= (p* cos nx +p r cos ny+p s co& ns) d<7+ ... 

 . . . = I (pj cos n x + Py cos n y +pj cos n z) d a -f ... 



<7 



si ha : 



lim?|[Z]| 



) i- - — — p x cos nx -\~Py cos ny+Pr. cosm \s = 

 I =2) x 'cosnx-\-p'cosny-\-p z 'cosnz, 



e quindi ; 



Px=Px' Py=Py Pz=Pz' , 



di poi ponendo : 



(/>,|[L]| = <p|[Z]|— (p x cos nx+PyCosny +p, costicele ; 



<f's'|[-£]| = ?|[-Z']| — ! (pj cosnz+p'yGosng+pJ cos ne) da , 



