465 



Sulle superficie algebriche le cui sezioni 

 sono curve di genere 3 ; 



Nota di Guido Castelnuovo 



Se per famiglia di superficie a sezioni (*) di dato genere n 

 si intende l'insieme di tutte le superficie che si possono ottenere 

 da una stessa, avente per sezioni curve di quel genere n, mediante 

 proiezione da punti (sia esterni, sia sulla superficie), lo scopo a 

 cui mirano queste ricerche è di : Assegnare tutte le famiglie di 

 superficie le cai sezioni sono curve di un dato genere n, e 

 studiarle dal punto di vista della loro rappresentabilità sopra 

 enti noti o più semplici. 



Però le difficoltà inerenti al problema mi costringono a li- 

 mitarmi per ora a quelle superficie che , avendo per sezioni 

 curve di dato genere n, contengono un sistema (y) almeno 

 co 15- " di curve d'ordine 2n-2, le quali determinano la serie 

 speciale g * sulla curva sezione generica ; ho potuto asse- 

 gnare tutte (cioè senza alcuna restrizione) le superficie di questo 

 tipo in due casi : quando la curva sezione è iperellittica di ge- 

 nere #==; 2 , in un lavoro recentemente pubblicato (**) , quando 

 la curva sezione è di genere 3, nella presente Memoria. Mi pro- 

 pongo però in una Nota che seguirà questa, di occuparmi anche 

 delle superficie a sezioni del genere 3 , che non appartengono 

 alla categoria ora nominata , delle quali possiedo già qualche 

 esempio. 



(*) Qui e nel seguito per sezione di una superficie si deve intendere la 

 curva intersezione della superficie con uno spazio $ , se S r è lo spazio 

 a cui la superficie appartiene. 



{**) Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve iper ellittiche 

 (Rendic. Circolo Matem., t. IV). Quantunque la questione non sia enunciata 

 così esplicitamente nel lavoro qui citato, si vedrà facilmente come tutte le 

 considerazioni in esso contenute dal n° 5 in poi (relative al caso »S2| val- 

 gano per ogni superficie, la quale contenga un sistema di curve (y). 



