466 GUIDO CASTELNUOYO 



Esposto così l'argomento di questa prima Nota, credo utile 

 di esaminare un po' più addentro quale ne sia la portata, vale 

 a dire di che natura siano i limiti imposti al campo di ricerca, 

 quando dalla questione generale enunciata in principio, si passa 

 alla questione particolare di cui qui veramente mi occupo. 



Nella mia Nota sulle superficie a sezioni iperellittiche , al 

 n° 1, ho fissato alcune restrizioni alle singolarità che potevano 

 presentare le superficie colà studiate, restrizioni dipendenti (a 

 quanto pare) non già dalla natura della questione, ma dalle 

 imperfette cognizioni che finora si hanno sulle singolarità stesse. 

 Come ho mostrato, quelle restrizioni, che ora non sto qui a ri- 

 petere, permettono di dedurre dalla nota forinola di postulazione 

 di Nother (Annali di Matematica, serie II, t. 5°.) il teorema: 

 Le superficie d'ordine n-3 aggiunte ad una superficie d'ordine 

 n dì genere p, a sezioni del genere n, appartenente allo spazio 

 ordinario, formano un sistema lineare di 'dimensione p -f-7i— 1 

 quando p^ (*). Queste superficie aggiunte, avendo comuni 2 n — 2 

 punti (oltre ai punti multipli fìssi) con ogni sezione della superfìcie, 

 determinano sulla superficie un sistema lineare (**) (y) oo^ + 1t_1 di 

 curve d'ordine 2n— 2, le quali segano sopra ogni sezione piana 

 della superficie la serie speciale {Special schaar) g * _' d'ordine 

 2 7r — 2 e dimensione u — 1. Dunque, riservando il caso delle 

 superficie con singolarità straordinarie (o singolarità ordinarie con 

 particolari legami), posso dire che tutte le superficie di genere 



(*) In tutto questo lavoro il genere p di una superficie si intende deter- 

 minato mediante la seconda definizione del sig. Nother, cioè mediante quella 

 che segue dalla forinola di postulazione (Meni, citata, oppure Zur Theorie 

 des eindeutigen Entsprechens . . . , Math. Annalen, 8, pag. 526, nota). 11 teo- 

 rema sopra enunciato (il quale sembra verificarsi per qualunque valore di p) 

 si trova anche dato in una nota a pag. 167 del lavoro di Caporali Sopra i 

 sistemi lineari triplamente infiniti. . . (Collectanea Mathematica, Milano, 1881). 

 11 C. lo dimostra soltanto per le superficie razionali approfittando della for- 

 mola di postulazione, il che fa ritenere che la stessa forinola lo abbia gui- 

 dato al caso generale. 



(**) Per sistema lineare oo* di curve sopra una superficie si intenderà un 

 sistema di curve i cui elementi si possono riferire univocamente ai punti di 

 uno spazio lineare S^ , in tal guisa che alle curve passanti per un punto 

 della superficie corrispondano i punti di un S k _ l . Dalla definizione segue 

 che per I: punti arbitrari della superficie passa una sola curva del sistema. 



