SUPERFICIE A SEZIONI DI GEMERE 3 467 



j9=s0 sono comprese tra quelle che riesco a classificare (nel senso 

 dichiarato in principio). Ma va notato che dall'esistenza di un 

 sistema (y) , almeno co" -1 , di curve d'ordine 2^ — 2 secanti 

 sopra ogni sezione della superficie la serie #.*_' , non si può 

 conchiudere l'esistenza di un sistema di superficie aggiunte d'or- 

 dine n — 3 avente la stessa dimensione. In altre parole : esistono 

 superficie d'ordine n del nostro spazio, a sezioni di genere 7i, 

 le quali contengono un sistema (y) oo * -1 di curve d' ordine 

 2 rr — 2, mentre non ammettono od* "' superficie aggiunte d'ordine 

 n — 3 (aggiunte sia lungo le curve multiple, sia nei punti mul- 

 tipli). Tutte queste superficie rientrano tra quelle che io posso 

 studiare, quantunque il loro genere p sia (in generale) negativo (*). 

 Così si vedrà trattata al numero 9 del presente lavoro una 

 superficie di genere p= — 1 , a sezioni del genere n = 3 , sulla 

 quale esiste un sistema (y) o^ 2 di quartiche. Un altro esempio 

 è offerto dalle rigate d'ordine n a sezioni di genere 7r qualun- 

 que, le quali non ammettono superficie aggiunte d'ordine n — 3, 

 ma contengono un sistema (y) di curve (costituito da oo* -1 

 gruppi di 2 7i — 2 generatrici) che segano la serie speciale sopra 

 ogni sezione. 



1. Da ora in poi, quando si parlerà di una superficie F" (d'or- 

 dine n) sarà sottinteso che la sua sezione generica è una curva 

 irriduttibile di genere 3. Sulle F" che qui considero si fa que- 

 sta sola ipotesi, che esse contengano un sistema lineare (y) di 

 curve y del quarto ordine secanti sopra ogni sezione di F" la 

 serie speciale g^ 2) . 11 sistema (y) ha la dimensione almeno uguale 

 a 2. Se la dimensione supera 2, ogni sezione di F" deve formar 

 parte di qualche curva y , e poiché non può esser n < 4 , sarà 

 n = 4 , nel qual caso la F" è una superficie del quarto ordine, 

 senza curva doppia, dello spazio ordinario. E i eciprocamente 



(*) È utile notare che (anche indipendentemente dall'esistenza di oo«— l 

 superficie aggiunte d'ordine n — 3) si può provare facilmente la presenza di 

 un sistema (•/) oou - x sopra una superficie razionale. Poiché se le sezioni della 

 superficie hanno per imagini sopra un piano curve d'ordine v, le oo*~ l 

 curve d'ordine v— 3 aggiunte a queste sono imagini di curve della super- 

 ficie che determinano la g sopra ogni sezione della superficie stessa. 



