4 08 GUIDO CASTELNUOVO 



per una tale F A le oc 3 sezioni piane possono considerarsi come 

 curve y (*). 



Le superficie F" possono esser classificate secondo i caratteri 

 del sistema (y). E precisamente diremo che F n è: 



di prima specie, quando in (y) è contenuto un sistema 

 lineare oc 2 (y ) di quartiche razionali ; 



di seconda specie, quando in (y) è contenuto un sistema 

 lineare oo 2 (y t ) di quartiche di genere 1 (ma non un sistema 

 lineare oo 2 di curve di genere inferiore); 



di terza specie quando in (y) è contenuto un sistema 

 lineare oo 2 (y 2 ) di quartiche di genere 2 (ma non ); 



di quarta specie se in (y) non è contenuto un sistema 

 lineare oc 2 di quartiche di genere inferiore a 3 (**). 



Resta ancora l'ipotesi che la curva generica y si scinda: 

 come mostrerò, questo spezzamento può avvenire soltanto 



Se y si scinde in due coniche (caso delle superficie a 

 sezioni iperellittiche) , 



Se y si scinde in quattro rette (caso delle superficie 

 rigate). 



Esaminerò successivamente questi vari tipi di superficie (fer- 

 mandomi specialmente su quelli che presentano maggiore in- 

 teresse). 



I. 

 Superficie di prima specie. 



2. Su F n esista un sistema lineare c<r (y ) di quartiche 

 razionali y . Le oc 1 curve y che passano per un punto scelto 

 ad arbitrio su F" costituiscono un sistema lineare di curve razio- 

 nali giacenti su F"; quindi per un teorema del sig. Nother (***), 

 la superficie è rappresentabile univocamente sul piano. Ad una 



(*) Se si nota che la sola curva di genere 3 nella quale ogni gruppo di 

 g^) sta in una retta, è la quartica piana, si vede pure che quando la curva 

 generica y è piana, la F" ha l'ordine 4 ed appartiene ad S 3 . 



(**) S'intende che per le F" di specie i il sistema (y^t) coincide con (y), 

 se (y) è od 2 . 



(***) Ueber Fldchen , welche Schaaren rationaler Curven besitzen, Mathem. 

 Annalen, Bd. 3; qui alludo alla considerazione che si trova a pag. 175. 



