SUPERFICIE A SEZIONI DI GENERE 3 469 



sezione generica e della superficie corrisponderà nel piano una 

 curva e di genere 3, la quale sarà segata nella serie speciale g^ 2) 

 dalla rete delle curve y' imagini delle oo 2 curve y Q di F". Due 

 qualunque delle curve y' si segano in un solo punto variabile 

 (fuori dei punti base del sistema) : se infatti due yJ avessero più 

 che un punto comune, per un noto teorema sui sistemi razionali, 

 la rete delle yJ sarebbe contenuta in un sistema lineare almeno oo 3 

 di curve razionali, ciascuna delle quali si comporterebbe nei punti 

 base della rete, come una y' ; ogni curva di questo sistema oo 3 

 segherebbe su e' un gruppo della serie speciale due volte infinita, 

 ed in conseguenza e' dovrebbe formar parte di qualche curva 

 del sistema oo 3 e quindi dovrebbe esser razionale, contro l'ipotesi. 

 Dunque: Sopra una superficie di prima specie ìe oc 2 curve y Q 

 si segano a due a due in un solo punto variabile (*). 



Riferendo univocamente le oo 2 curve y alle rette di un piano, 

 ad ogni punto del piano corrisponde un punto della superficie 

 F'\ e reciprocamente. Ad una sezione di F n che è una curva 

 di genere 3, segata da ogni y in quattro punti, corrisponde nel 

 piano una curva di genere 3 e del quarto ordine. Abbiamo quindi 

 il teorema : 



Ogni superficie a sezioni del genere 3 di prima specie è 

 razionale, e può rappresentarsi sul piano mediante un sistema 

 lineare di curve generali del quarto ordine. 



3. 11 sistema lineare di quartiche nel quale la dimensione 

 raggiunge il massimo valore 14, ed il numero delle intersezioni 

 variabili di due curve ha il massimo valore 16, è costituito da 

 tutte le quartiche piane. Esso ci rappresenta una superficie del 

 sedicesimo ordine di S H , la quale in seguito sarà indicata con 

 F (,) . 



Fra le superfìcie a sezioni di genere 3 di prima specie 

 ha il massimo ordine 16 ed appartiene allo spazio più alto' 

 la F (l) di S J4 . Ogni altra superficie di prima specie può ot- 

 tenersi dalla F (,) mediante proiezione. Quest'ultima parte de- 

 riva dal fatto che ogni sistema lineare di quartiche generali è 

 contenuto nel sistema di tutte le quartiche piane. 



(*) È evidente la reciproca : Se sopra una F" esiste un sistema lineare oo- 

 di curve y secantisi a due a due in un solo punto variabile , la superficie è 

 della prima specie. 



