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470 GUIDO PASTELNUOYO 



Le curve di minimo ordine giacenti sulla F (l) sono le oc 2 

 quartiche razionali y appartenenti a spazi # 4 . Dopo queste ven- 

 gono oo 5 curve razionali dell'ottavo ordine secantisi a due a due 

 in quattro punti, ecc. In un punto di F (1) si possono condurre 

 il piano n, tangente, lo spazio ~ 5 osculatore, lo spazio *r 9 bi- 

 osculatore; ogni S l3 passante per n 3 secaF (l) in quattro quartiche. 



4. Le superficie di prima specie normali (tali cioè che non 

 si possano ottenere come proiezioni da superficie del loro ordine 

 appartenenti a spazi superiori) si ritrovano tutte proiettando la 

 F (l) da suoi punti così scelti, che lo spazio generico # 13 che passa 

 per essi, seghi F (l) in una curva irriduttibile C lr ' (*). Ora una 

 C u ' del genere 3 non iperellitica di S l3 (e la sezione generica 

 di F (l) non è iperellittica perchè rappresentabile sulla quartica 

 piana) è proiettata sempre da a suoi punti in una G u ~ a di 

 S l3 _ a , quando a<12; ma per a =12 si possono scegliere su 

 C" J 12 punti giacenti in un S l0 (anziché in un S n ) dai quali 

 la C 16 è proiettata in una C i di S, (**); quindi : Le superficie 

 normali di prima specie sono le superficie d'ordine 16 — a 

 appartenenti ad S 14 _ tt (dove a<12), ed inoltre la superficie 

 del quarto ordine a punto triplo del nostro spazio. Che la F k 

 ottenuta proiettando la F (1) da 12 punti scelti nel modo indi- 

 cato, abbia un punto triplo , si vede subito badando alla rap- 

 presentazione piana. Infatti mentre il sistema lineare che rappre- 

 senta la jP l6_a di S li _ a è costituito dalle quartiche che passano 

 per a punti base indipendenti fra loro, per aver la rappresen- 

 tazione della F k i 12 punti base devono esser tali che per essi 

 passino oo 3 quartiche , quindi devono costituire l'intersezione di 

 una quartica con una cubica, la quale è imagine del punto triplo. 



La geometria sulla F i a punto triplo si ottiene subito pro- 

 iettando la superficie sopra un piano dal punto triplo (***). Per 

 la F l *~* di S u _ a , baciando alla rappresentazione piana , si ha 

 che la superfìcie contiene in generale a rette sghembe a due a 



(*) Se i centri di proiezione non verificano questa condizione, la super- 

 ficie proiezione ha per sezioni curve di genere inferiore a 3. 



(**) V. Segre, Recherches générales sur les courbes .. % 14, Mathem. An- 

 nalen, Bd. 30. 



(***) Rhon, Ueber die Flàcken vierler Ordnung. . . Math. Annalen, 24. 



