SUPEKFIC1E A SEZIONI DI GENERE 3 471 



due,/ ) coniche (ciascuna delle quali si appoggia a due rette), 



c) 2 



cubiche piane, ecc. 



Ogni superficie non normale di prima specie può ottenersi 

 come proiezione di una superficie normale dello stesso ordine, da 

 punti esterni (*). 



II. 

 Superficie di seconda specie. 



5. Questa volta sulla superficie F n di S r esista un sistema 

 lineare oo- (y,) di quartiche ellitiche y, . Se la curva generica 

 fi è piana, la F" (per la nota al n u 1) è una superficie del 

 quarto ordine F** senza curva doppia, dello spazio ordinario, alle 

 cui sezioni piane appartengono le oc 2 y t . I piani di queste y t 

 formano una stella il cui centro deve essere un punto multiplo 

 di F k (che altrimenti le y t avrebbero il genere 3) ; precisa- 

 mente in deve avere un tacnodo ogni sezione piana contenente 

 0, sicché sarà un tacnodo (punto di contatto con se stessa) 

 per F i . Su questa .F 4 ritornerò in seguito ; per ora passo al 

 caso più generale in cui la y, è una curva sghemba ; molte delle 

 proprietà che dimostro nell'ultima ipotesi , valgono ed anzi di- 

 vengono evidenti per la F\ 



Due delle quartiche sghembe y x non possono segarsi in un 

 solo punto variabile (per la seconda nota al n° 2) ; se a e a' 



(*) Tra le superficie di prima specie dello spazio ordinario noto, oltre 

 alla F\ la F 5 a cubica doppia senza punto triplo ( CIlebsch, Math. Ann., 1; 

 Sturm, Math. Ann., 4 ; Cremona, Math. Ann., 4), e la F 6 avente una curva 

 doppia del 7° ordine di genere 3, che passa tre volte per l'unico punto triplo 

 della superficie (Bordiga, Memorie dell' Accad. dei Lincei, 1887). In quest'ul- 

 timo lavoro il sig. Bordiga studia la superficie normale (di prima specie) 

 F 6 di S 4 , la cui generazione mediante quattro forme collineari di 2 a specie 

 (o mediante tre forme collineari di 3 a specie) era già stata data dal sig. Vero- 

 nese (Math. Ann., 19). Che ogni F 6 rappresentabile sul piano mediante le oo 4 

 quartiche per 10 punti possa generarsi proiettivamente, non fu dimostrato 

 dagli Autori nominati, ma può vedersi facilmente col metodo della numera- 

 zione delle costanti; poiché tanto partendo dalla rappresentazione piana, 

 quanto dalla generazione proiettiva , si riconosce che oo 12 sono le F 6 di S 4 

 proiettivamente distinte. 



