472 GUIDO CASTELNUOVO 



sono due punti comuni a due y^ , le oo 1 y t passanti per a pas - 

 seranno anche per a. Sopra una di queste y, fisso un punto b 

 ad arbitrio e per a, a, b conduco un piano, il quale giacendo 

 nello spazio a tre dimensioni della y, , sega ancora questa in un 

 quarto punto b'. Uno spazio S r _ ì che passi per il piano senza 

 contener la y 14 taglia F n lungo una curva C", sulla quale le 

 oo l y { passanti per a, a' determinano una involuzione di coppie 

 di punti gj l \ un cui gruppo è costituito da b, b'. La C n 

 quindi è una curva iperellittica ; e poiché il sistema (y,) sega 

 su C n la serie speciale <// 2) , ciascuna delle oo 1 curve di (y t ) 

 passanti per un punto b di C " , dovrà contenere anche il 

 punto V coniugato a b nell'involuzione g^K In altre parole se 

 per due «, a' delle quattro intersezioni di una y t con un piano, 

 passano oo 1 y, , anche per le rimanenti due intersezioni b, b' 

 passano oo 1 y t . Da ciò segue subito che due y L devono segarsi 

 in due soli punti variabili (*) ; il sistema (y^ determina adunque 

 una corrispondenza univoca involutoria tra i punti di F n \ due 

 punti che si corrispondano si diranno coniugati. Segue pure che 

 due qualunque coppie a, a' e b, b' di punti coniugati stanno 

 in un piano. Le oo 2 rette che congiungono i punti coniugati di 

 F" si segano quindi a due a due, e poiché non giacciono tutte 

 in uno stesso piano, devono passar tutte per uno stesso punto 0. 



Sopra una superficie F n di seconda specie esiste una in- 

 voluzione I di oo 2 coppie di punti ; le rette congiungenti i 

 punti coniugati nell'involuzione passano tutte per uno stesso 

 punto ; ogni spazio S r _ t condotto per questo punto sega la F n 

 in una curva iperellittica la cui serie g/ l) si compone di coppie 

 della involuzione. 



Anche sopra una y, si trovano oo 1 coppie di punti coniu- 

 gati, le quali costituiscono una serie ffJ'\ Ciascuna delle oo 1 y x 



(*) Siano infatti, se è possibile, almeno tre a, a', a" i punti comuni a 

 due quartiche y i , y/. Se b è un punto qualunquo di y l , e con b', b", b /u 

 indico le ulteriori intersezioni della y i coi piani ao/b, af a" V , a ,/ a f// b", 

 ogni curva di (-/j) passante per b deve contenere anche i punti b', b", b /,/ . 

 Ora dalla costruzione fatta risulta (come si vede ad esempio ricorrendo alla 

 rappresentazione parametrica) che il punto b' u sta nel piano che proietta da 

 b la tangente a •/( in a. Mentre a si muove su Vi e b sta fìsso, si ottengono 

 in tal guisa infiniti punti V" che tutti dovrebbero giacere sulle oo' quar- 

 tiche di ('/j 1 passanti per b , il che è assurdo. La proposizione è addirittura 

 evidente per la F* dotata di tacnodo. 



