SUPERFICIE A SEZIONI DI GENERE 3 473 



è proiettata da mediante un cono quadrico; (fatta eccezione, 

 si intende, per la F i con tacnodo). 



Su F n esisteranno in generale co 1 coppie di i" costituite da 

 punti coincidenti; sopra ogni quartica y, si trovano 4 punti coin- 

 cidenti coi loro coniugati, i quali per una nota proprietà stanno 

 in un piano Dunque : I punti di F n che coincidono coi loro 

 coniugati formano una curva K la quale è segata in quattro 

 punti di un piano da ogni y x . La curva K si dirà curva di 

 coincidenza di F". 



Dalle proposizioni qui stabilite altre possono dedursi facil- 

 mente, ma per evitare la distinzione di casi particolari preferisco 

 passar subito allo studio della superficie più generale di seconda 

 specie. A questa si perviene ricorrendo alla rappresentazione di 

 F" sul piano doppio. 



6. Le oc 2 curve y t di F n si possono riferire univocamente 

 alle rette di un piano 2 ; ad un fascio di rette in 2, e quindi 

 al suo centro, corrisponde allora un fascio di y t su F", e quindi 

 la coppia di punti base del fascio ; in tal guisa la F n viene 

 rappresentata sul piano doppio 1. Ad ogni coppia di I su F" 

 corrisponde un punto di 2, e alle co 1 coppie di /costituite da punti 

 coincidenti corrispondono oc 1 punti di 2 formanti una curva Q, 

 curva limite del piano doppio [U eh ergangs curve) , la quale è ri- 

 ferita univocamente alla curva di coincidenza K di F". Poiché 

 la K ha comuni quattro punti con ogni y , la Q. avrà quattro 

 punti comuni con ogni retta di 2, ossia sarà del quarto ordine. 



Ora un piano doppio con curva limite del quarto ordine può 

 in generale rappresentarsi sul piano semplice (*) ; quindi in 



(*) Clebsch , Ueber den Zusammenhang einer Klasse von Flàchenabbil- 

 dungen. . . (Math. Annalen, 3' : Nòther, Ueber die ein-zweideutigen Ebenen- 

 transformationen (Sitzungsber. d. physik. medicin. Soc. zu Erlangen, 1878); 

 v. inoltre i lavori del sig. De Paolis (Meni. Acc. Lincei, 1877-78). 



Alla rappresentazione di F" sul piano doppio 2 analiticamente si giunge 

 fissando nel sistema (-/j) due sistemi lineari oo 1 di quartiche, ed inoltre su F" 

 un sistema lineare oo 1 di C n ottenute con spazi S ' j di un fascio. Se indi- 

 chiamo rispettivamente con x, y, z i parametri dei tre sistemi oo 1 , vediamo 

 che ad ogni punto di F" corrispondono tre valori perfettamente determi- 

 nati di x, y, z ; agli oo 2 punti di F" corrispondono oo 2 terne x, y, z che 

 verificano una equazione algebrica 



f(x, y, *) = 0, 



