474 GUIDO CASTELNUOVO 



generale una superficie di seconda specie potrà riferirsi univoca- 

 mente al piano semplice. Ma sul caso generale e sulle eccezioni 

 ritorneremo in seguito. 



Una sezione C di F" ottenuta con un S r _, passante per 

 ha comune con ogni y x due coppie della I; dunque l'imagine 

 di C n su 2 è una conica. Viceversa a ciascuna delle oc 5 coni- 

 che di 2 corrisponde una curva di F", la quale contiene una 

 serie g^ formata da coppie di /; si hanno così oc 5 curve iper- 

 ellittiche di F" formanti un sistema lineare : due curve del 

 sistema si segano in quattro coppie della I, la curva generica 

 del sistema incontra la curva di coincidenza K in otto punti, 

 ed è quindi di genere 3 (perchè la sua serie g^ contiene otto 

 coincidenze). 



Ad una sezione C n di F" ottenuta con un S r _ t arbitrario, 

 corrisponde su 2 una curva che deve segare ogni retta in quat- 

 tro punti (corrispondenti alle quattro intersezioni di una y Y con 

 ^,_,), quindi una quartica O 4 , la quale è riferita univocamente 

 a C" (ed anche alla curva di F" luogo dei punti coniugati ai 

 punti di C") : per una nota proprietà della rappresentazione 

 sopra un piano doppio, dovrà la C 4 toccare semplicemente la Q 

 in tutti i punti che con questa ha comuni; ossia in otto punti. 

 Le oo r curve C 4 che corrispondono a tutte le sezioni C n di F n 

 determinano su Q una serie razionale g s di gruppi di otto punti ; 

 ma siccome oo r ~ ' tra le curve C" appartengono a spazi S r _, 

 passanti per , co r_l tra le curve C 4 si riducono a coniche 

 doppie, ed oo r ~' fra i gruppi di g 3 devono trovarsi su coniche; 

 dal che segue subito per il Restsatz che ogni gruppo di g s si 

 trova sopra una conica , ossia che ogni O 4 appartiene al fascio 

 determinato da Q con una conica doppia. La equazione di 

 una C' 4 può adunque porsi sotto la forma 



(1) f 2 -/.o = , 



Questa è di secondo grado in s, perchè due sono le intersezioni delle quar- 

 tiche x, y ; risolta rispetto a z ci dà 



z — zi fo y) ± Vn a fa y) 



essendo y_ x e x 2 funzioni razionali. Se x e y si considerano come coordinate 

 dei punti di un piano 2, l'ultima relazione ci stabilisce la corrispondenza 

 tra F n e il piano doppio 2; e x ì (x,y)=zO è in 2 l'equazione della curva 

 limite ft. 





